Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
разделены линейно по |f|. Согласно (почти) локальности, вакуумные средние
в G(-r\4, t) можно заменить на Sllefqs, -Щъ, -qe, qь Яг, -Я*)т, которое
обращается в нуль ввиду свойств носителя ifi).
4 Зак. 954 ду
Поэтому Т(t) = О(\t\~°°) при t-+oo. Из этих оценок следует, что
X [(<7i + q2 - <74)а - ш2] <qiq2q"ut | qAq^X7" (8-32)
принадлежит классу S'iR1) по переменной t. Вводя в качестве новой
переменной оц + шг-м4-со, что представ-
деть, что по отношению к переменной нц + сог-со4-со функция
проинтегрированная по остальным переменным с основными функциями,
удовлетворяющими ограничениям теоремы, касающейся носителя, принадлежит
классу С°°. Аналогично Т(()-0(^)7'(с") принадлежит классу С°° и быстро
убывает при /->-±00. Поэтому ее фурье-образ принадлежит классу С°° по
сопряженным переменным, что и доказывает (8.13).
Одночастичные особенности можно непосредственно выразить через причинно-
независимые равномерно неперекрывающиеся многочастичные конфигурации.
Более того, диаграммам множественного рассеяния (рис. 3) можно придать
асимптотический смысл и вве-
6
(0), +0)2 - <"*-<й)
X
Рис. 3. Диаграммы многократного рассеяния, ляется всегда возможным в
носителе {fi}, можно уви-
[(<7i + <72 - <74)2 - т?1 <Ч1Я2Чзи* | ЯАЧб">т
98
сти "крупнозернистое" пространственно-временное описание амплитудой
рассеяния.
Упражнение 5. Какой нывод об одночастичиых особенностях можно сделать для
тройного рассеяния, изображенного на рис. 3?
ГЛАВА 9. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Установленная связь между формулировками Вайтмана и ЛСЦ квантовой теории
поля была бы неполной без рассмотрения дисперсионных соотношений
двухчастичной амплитуды рассеяния. Очевидно, что результаты Броса,
Эпштейна и Глазера [99-101], касающиеся четырехточечной функции, остаются
в силе даже для гладких обобщенных функций Грина. Классическое же
доказательство дисперсионных соотношений - само по себе уже являющееся
настоящим шедевром математики - очень чувствительно к ослаблению
некоторых из предположений, одно из которых - существенное при
использовании интеграла Коши - касается поведения на бесконечности.
Будем следовать методу Н. Н. Боголюбова и др. [1] и приведем аргументы в
пользу целесообразности попыток Хури и Киношиты [102, 103]
экспериментально проверить основы квантовой теории поля с помощью
неравенств, получаемых из условия аналитичности, кросссимметрии и
унитарности для двухчастичной амплитуды. Связывая основу этих
предсказаний (с точностью до одного недоказанного) с аксиомами Вайтмана,
из слабого отклонения теории от эксперимента можно извлечь серьезные
последствия для локальной теории поля. Заполним также пробелы [104] в
классическом доказательстве, связанном со свойствами обобщенных функций и
полиномиальной ограниченностью, которые легко устранимы в вайтмановском
подходе.
Для простоты ограничимся случаем модели одной скалярной частицы (для
общего случая см. работу [105]). Двухчастичную амплитуду рассеяния
Т(Ри Рг, Рз, Рд =<PiP°2ut | P3Pin>-<PiP°2ut | РзР°4и*> (9-1)
экстраполируем за массовую поверхность следующим образом:
- 2jti6+ (ра) 6+ (р3) [(р\ - гп2) (р| - /п2) X
X<Pi|tf(p2, -Рз)|р4>1- (9.2)
4* 99
U точностью до множителя 6(pi + p2-Рз-Pt) запаздывающий коммутатор в
(9.2) зависит только от pi, pi и (рг + Рз)/2 с pi = со (pi) (г== 1,4).
После перехода в систему координат Брейта
ръ р4 = {УпР + А2, ± А), *±?l = О) (9.3)
и выделения б-функции экстраполяция за массовую оболочку принимает вид
ротационно-инвариантной обобщенной функции
Г,((r), А) = Тг(ю0, Я", R\)(R?0+(3)),
которая должна зависеть только от инвариантов (c)о, со2, (оД, А2 или s, t,
р\, р\, где
& = (Pi + Ра)3! и -{рх - рз)2 = со2 + m* + А2 - 2(о° У т* -J- А2;
t = (pi - Pi)2 = - 4Д2; (9.4)
р\, р\ = (о2 - А2 ± 2 ("оА).
Физическая область амплитуды (9.1) характеризуется
(шА) = 0, (о2 = т2 + А2, (о0 > Ут2 + А2 при 0 < А2 < оо.
(9.5)
Опережающий коммутатор Та(<х>, А), получающийся из (р§ - т2) (р1 - /и2)
<Pi М (Ра. -Рз) I Р">,
тесно связан с Гг.
Согласно условию локальности, частичные фурье-об-разы Тг и Та им_еют
носитель по переменной Хч-х3, сопряженной (о в V+ и V- соответственно.
Поэтому [2] Тг и Та являются граничными значениями аналитических функций
по (о с полиномиальным ростом в трубах %±= {1ш(оеУ±}. Для действительных
(о
Тг (о, А) - Та (со, А) = - i Тс (со, А), (9.6^
по существу, сводится к коммутатору
<Pi|l7(Pa)7(-Ps)llP4>
100
и при
I "о | < V т.2 + ы* - У т2 + А2 (9.7)
обращается в нуль согласно спектральному условию.
Применив теорему об острие клина [2], получим общее аналитическое
продолжение 7*1 (<о, А) обобщенных функций Тг и Та в ?+U %- и комплексную
окрестность области (9.7).
В работе Н. Н. Боголюбова и др. [1] исходными являются комплексные
инварианты шо, (о2 и (оА, возникающие из (о в оболочке голоморфности Di-
области, установленной в силу теоремы об острие клина. При использовании
только этой информации невозможно получить строгие свойства аналитичности
