Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
[104]. Эти авторы [1] предлагают исходить из дисперсионного соотношения
для Т1 (о, А) для нефизических значений р\ и ръ . Для о)А=0 и (о2<-А2Т\
аналитично по m при lni(oo?=0 и для действительных (о0 в интервале
I | < = - ((О2 + ЩЧ Ут2 + А2.
Используя умеренный рост по (оо в трубчатой области, получаем в
вещественной окрестности множества, определяемого условиями (соА) =0 и
(о2<- А2, формулу Коши (обычно после конечного числа "вычитаний"):
7\(<о0, (о2, (<оД), А2) 1
-шв W
и
<00 - и>0
2ni
со(r)
("Д), Д2)-Га((о' (о2, ("Д), А2)] =
"3.
"0>
_ 1 с <ЦЛ (<йо, ша, (мА), А2)
2п J <вц - шв
со0
1 ~п° , <в2, (шД), Д2)
+ о \ 7 *
2п J <в" - ад*
Здесь мы использовали (9.6) для разрывности Тг-Та через действительную
ось, а также спектральное условие, согласно которому в интервале [(оо,
+оо> ненулевой вклад дает только - <р\ |/ (р2)До'/(-рз)|р4>.ав интервале
<-оо,-(о0)-член <pi \j(-p3)Eo' j(рг) |р4>.
101
Эти члены превращаются в Ах и А2 после выделения
6-функции.
"Абсорбтивные части" Ах и А2 тоже являются граничными значениями
аналитических функций. Лучше всего изучать их с глобальной точки зрения
четырехточечной функции в р-пространстве, пользуясь при этом тождествами
Штейнманна (см. [101] и ссылки, приведенные там).
Н. Н. Боголюбов и др. пользуются редукционной формулой
X
<Pi\j (р2) Ео j (- Рз) | Pi> = 2я6+ (pi) 6+ (р4) X П (Pi - т%) < R (Ръ
Pi)EiR (- р3; - р4) >о1, (9.9)
i=i
которая имеет место для ри р4 <4 т2. Правая часть нетривиальным образом
зависит только от переменных Р1 + Р2, (Pi--рг) /2, (р3-pi) 12 и в
соответствии с лоренц-инвариантностью должна быть обобщенной функцией от
s, t, ри pi, Рз, р!, совпадающей с Ах при р? = р4 = т2.
Двукратный запаздывающий коммутатор (9.9) является членом квартета
запаздывающих опережающих двукратных коммутаторов, свойства носителей
которых в х-пространстве по переменным х4-х2 и Хз-х4 в F± дают
аналитичность и полиномиальную ограниченность в р-пространстве в
трубчатой области %± X %± по сопряженным переменным (рх-р2) /2, (р3-
р4)/2. Согласно спектральному условию, все четыре обобщенные функции
попарно совпадают в некоторых действительных областях и определяют общее
аналитическое продолжение
T0(S, t, р2, р2, р|( р2у
Оболочку голоморфности, области, установленной с помощью теоремы об
острие клина для s^m2 (или шо^гшо в (9.8)) по t, p2upl,pt,pt, можно
изучать аналитическими методами [1, 106, 107] или с помощью новейших
методов геометрии [104, 107]. Она содержит полосу
/pf - т2 ] < б, |р§-Е*|<6, |р2-?3|<б. |р*-т*|<в, - 8/и2 + е< Re^ < 0,
|Im^|<6/s, (9.10)
102
'де б>0 для всех е>0, R>0 и -R^t,2^m2. Можем шрейти к переменным соо,
со2, (юА), А2, р2и р\ в (9.8) * в аналогичном выражении для А 2:
du'T0 (и', - 4А2, /о2, со2- А2-2 (мА), м2 - А2 + 2 (шА), тг)
Если Г0 остается ограниченным полиномиально в полосе (9.10) (это имеет
место только для соо, со2, (юА), А2, получаемых из вещественных со и А,
вследствие умеренности роста Гс!), то правая часть (9.11) дает
аналитическое продолжение Г2 амплитуды Г| в область D2, которая для
физических значений р]=т2 и -8/п2<^0 дает аналитичность в области Ims^O
или (Оо?=0.
Можно показать [1, 107], что физическую область
можно достичь как некасательный предел изнутри области Dif)D2, в которой
вследствие аналитического продолжения Т\ = Т2. Поэтому эти действительные
граничные значения Г2 для ImsjO тоже являются экстраполяцией за массовую
поверхность амплитуды рассеяния, и для физических значений (юА)=0,
со2=/п2 + А2 получим следующую теорему.
Теорема 9.1. Двухчастичная амплитуда рассеяния для фиксированного -
8/п2<^0 имеет вид
где T(s, t)-граничная обобщенная функция со стороны Im s>0 голоморфной в
{Im s=^=0} функции, удовлетворяющей дисперсионному соотношению (вообще
говоря, с конечным числом вычитаний) и принадлежит классу С°° по t.
Тщательное и математически строгое доказательство дисперсионных
соотношений должно основываться на длинной цепочке сложных рассуждений
(см., например,
оо
ds'T0(s', -4Д2, та, (О2-А2+2мА, ш2-А2-2юА2, т2)
ОО
(9.11)
ю0 > ]/т2 + Д2
Т (Pli Р2 1 Рз, Pi) - б (Pi + рг - Рз - Pi) П 6т (Pi) Т (s, t),
(9.12)
103
[104, 108, 109]). Очевидно, что для установления связи между
доказательством Боголюбова и 5-матрицей Хаага - Рюэля, т. е.
четырехточечной функцией </4(xi), ..., /4(х4)>о, нам надо преодолеть
технические трудности [110], некоторые из них будут рассмотрены ниже.
Редукционная формула для перекрывающихся импульсов
Формулы (9.2) и (9.9) можно вывести методами теоремы 7.2. Для
четырехточечной функции в общем случае имеем следующую лемму.
Лемма 9.1. Для pi, рз<Ат2 при любом порядке приближения к пределу имеем
тождество для обобщенных функций
Т (Ръ Рз, Рз, Р*) = - 2л1 lim lim 6+ (р2, а) 6+ (р3, b) х
а-юо Ь-*оо
X [{р\ - m2) (р§ - тг) <Pi\ Rx (р2; - Рз) I Р4>], (9.13)
1 РаРзи1> - I p2pf> - 2ni lim lim 6+ (p2, a) 6+ (p3, b) x
a~*oo b
X [{Pi - m*) {Pl - tn*) R, (- p2; - p3) Q], (9.14)
/ (- рз) 1 Рз >= V2л lim б? (p2, а) X
