Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
а-* оо
Х1{р1-т*){р\-т*)\{-р? -рз)0], (9.15)
где бт (р, а) - последовательность 0М (/?4) -функций, бт (р, а) = [я2ю
(р° - (О)]-1 sin (р° - (о) а б? (р). (9.16)
Доказательство. Предположим, что f\ и f4e $P{R3) и для fi<=ef(R4) с
supp/ie{(p, р)<4/п2} введем
F(- (х, 0 = (2я)"'/* J dpfi (р) ^ j exp i {(р(r)-о) t-(p, х)}.
(9.17)
Применяя обычные оценки, можно для фиксированных s и t->~оо опустить
гладкую 0Х -функцию (с точностью до члена порядка О (] 7 ] -°°)) в
| dxdyF, (х, s)* F3 {у, t) 0Х (х(r) - р°) <h | А (х)А {у) \ U> (9.18)
и получим J dxF2{x, s)*< f\ \А (х) |/V4n> с поведением 104
О(Н-). Аналогично (9.18) ведет себя как 0(|/|_°°) для фиксированного s и
t-y оо. Таким путем мы пока-жем, что выражение
dxdyF2 (х, sf Fa (у, t) 0Х (xP-t/>)<Fi\ А (х) А (у) | ?4>
(9.19)
интегрируемо для фиксированного s в интервале
-оо<^<оо и, следовательно, также в интервале
-oo<s<oo. Тогда а Ь
lim lim Г ds Г dt Г dxdyF2 (х, s)* Fa (у, t) 0Х (х° - 0") X
д-"оо b-*oo J J OSOt J
-а -Ь
X<?i I А (х) А (у) | %> = <hf} |?3/>> -
(9-2°)
С помощью аналогичных соображений находим, что в
(9.20) замена <fi\A (х)А (у) \}4> на <?i |И (х)А (y)]\fi> при
последовательности стремления к пределу lim lim
CL-+0O Ь-+ оо
не приводит к изменениям, в то время как обратная последовательность lim
lim приводит к добавочному чле-
Ь-*<Х) Д-+оо
ну, равному правой части (9.20). Формула (9.13) получена после перехода в
пространство импульса и интегрирования по s и t (отметим, что в 8' слабый
и сильный последовательные пределы тождественны [14]).
Рассмотрим также (9.15) для f2, fs^8(R*) с носителем в {(р, р)<4т2}. Для
-оо имеем поведение
&(И-):
J dxdyfa (х) Fa (у, t) KXQX (х? - уо) А (х) A(y)Q-y
-/(/•)!/.>, (9.21)
в то время как (9.21) при t-y оо ведет себя как 0(|^|-°°). С другой
стороны
J dxdyf2 (х) F3 (у, t) KXQX (х° - tf>) А (у) А (х) й • (9.22)
ведет себя как 0(U|"°°) при t-y оо, а при t-y-оо 9Х (х°-у0) можно
опустить (с точностью члена порядка до 0(|*|-°°)); остаток обращается в
нуль, так как
supp/(- p)QC((p, Р) > 4т2, р"> 0).
105
Отсюда получаем (9.15) в пространстве импульсов и, следовательно,
редукционную формулу (9.9). С помощью же (9.14) получаем аналитичность по
t двухчастичной амплитуды рассеяния в "малом эллипсе Лемана" [107].
Лоренц-инвариантные обобщенные функции
Мы хотим придать смысл рассмотрению ?+-инва-риантным обобщенным функциям
как функциям в пространстве обобщенных функций с меньшей размерностью,
чем в системе Брейта (9.5) или системе центра масс [для (9.13)], или как
обобщенным функциям от /-.{.-инвариантов.
Канонические представления для /.{[-инвариантных обобщенных функций от
одной векторной переменной были даны в работе Матэ (см. [15]). Нас
интересует случай трех 4-векторов с существенным упрощением,
заключающимся в том, что носитель лежит в V+Х/?8 для некоторых р>0.
Пусть #(p+Xtf4n; /.j) - подпространство всех /-{.-инвариантных обобщенных
функций Т ^3" (R4(n+l'>) с
носителем в F+X/?4" и пусть of'([р, оо>х/?4п]; 0+) является
подпространством всех т(/, qi, ..., qn)^if'(R4n+l) с носителем в [р,
оо>Х'/?4п] и 0+ (3) -инвариантный по
переменным qb ..., qn. Тогда имеет место следующая лемма.
Лемма 9.2. #"(F{-Xtf4n; /4)и^'([р, oo>xR4n]; 0+) топологически изоморфны.
Доказательство следует из теоремы Шварца [14] о том, что обобщенная
функция, не зависящая от некоторых переменных, однозначно определяет
обобщенную функцию в пространстве меньшей размерности, и наоборот. Ввиду
лоренц-инвариантности 7'(A:J.v ф)=0 для
П
К- ф = V {рь ~Т ~ рь -У ф (ft* • • • > Рп)- (9-23)
\ dPt dPi /
Для supp фс:К+Х/?4п, р>0 преобразование координат
t = (Ро, Ро), Чо = Ро, qi = l (РоГ1 Pi (1 < / < п) (9.24)
106
с "бустом" (5.9) регулярно, и для l^.k<l^z3 имеем: Л0*Ф = / t + ql ф,
Лг*ф =
dqt
i=1
ф. (9.25)
Таким образом, как и обобщенная функция от новых координат (9.24), Т не
зависит от q0 и 0+ - инвариантна по Яь ..., q".
Лемма 9.3. Пусть С - замкнутое выпуклое множество С={(а, b, c)^R3:a,
0, ас^Ь2} и S''{С)-под-
пространство {T^of'(R3) : supp ТаС). Тогда пространства е^'(#6; 0+) и
&'(С) топологически изоморфны.
Здесь используется тот факт, что обобщенная функция из пространства
е?"(#6; 0+) определяется однозначно на подпространстве основных функций
фе<^ (R6) сг с=ф(х, у)=ф(#х, Ry) для всех R<=0+. Это пространство
изоморфно пространству $ (С), в нем каждый 0+-инва-риант фее/Д#6)
является основной функцией (^-инвариантов:
ф (х, у) = Ф (х2, (ху), у2). (9.26)
Поэтому лемма 9.3 является следствием дуальности [110].
Отметим, что комбинированием лемм 9.2 и 9.3 и применением теоремы о ядре
можно установить топологический изоморфизм между пространствами
<#'(П-ХЯ8; L|) и <#'(?),
где D является замкнутым выпуклым образом пространства F+X./?8 в
пространстве Ь+-инвариантов {(р0, р0), (Ро, Pi),-.; (Р2, Р2)},
образованных из р0, ри р2-
Резкие запаздывающие коммутаторы
Математически строгий метод построения резких запаздывающих коммутаторов,
как <pi|#(p2; рз)|р4> и<Л(рь р2) ЕоК(р2\ р\) >о, основывается на
