Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
равномерно ограничено для всех 4+1, • •., tm после умножения на
П (1+ 141 )\ N?Z+.
I- й+1
Для доказательства существенно использование пространственно-временного
поведения (6.12) и (6.13) функции fi(x, t). Благодаря тому
обстоятельству, что fi(x, t) быстро убывают с увеличением расстояния от
Sn (jit t), а также из-за хронологической упорядоченности Tx(xk+ь ...,
xm) в формуле (7.17) группа полевых операторов, проинтегрированная по
4<*)(х, 4) с наибольшим
4 действует на |/1.../"'*> налево, с наименьшими же
80
ti действуют на |/m+i • • • /А"> направо. Использование неперекрывающихся
fi для почти равных U обеспечивает коммутацию A(f{, ?)(,)с точностью до
члена порядка 0(|?|_°°), так как Sn ti) при этом разделяются в
пространственноподобных направлениях линейно по ti. Это устранит
хронологическое упорядочение в пределах группы с максимальным |&|, и,
согласно теореме 6.1, выражение (7.17) ee7'(Pm-ft)._
Для неперекрывающихся {fi} существует т|>0 такое, что все 5Ч {fi, 1±л)
пространственноподобны друг другу. Благодаря симметрии Тх (Xk+u ..., xm)
при мажорировании (7.17) можем ограничиться сектором
th+i^-.-^tm и, например, t = tk+l^s\tm\.. (7.18) Будем в отдельности
изучать каждый подсектор, удовлетворяющий условию
ti ti+1 < ~ 7zt{k -(- 1 i / - 1), ti - ti+1)>
4 (m - k)
>-3-------1 (7.19)
4 (m - k) K
для любого k + l^.l^.m. Оказывается, что тогда для всех tk+u ..., tm_ в
(7.18), (7.19) обобщенная функция в (7.17) с точностью до члена порядка
0(|?|_<х>) может быть заменена функцией
</ь • • • • ftut\A(xk+l), . . . , A(Xl)X
X Тг(Х,+1 , . . . , Xm) |/m + l , . . . , (7.20)
Рассмотрим, например, перестановку Ре Sm-k с {P{k+1), ..., Р{1)}Ф{к+1,
..., /}. Член, содержащий А{хр(к+1), ..., А{хР(т)) В Ту (Xk+u Хт)у имеет
носитель в Gp={x°p(i)-?%(t+i)^-to, -1} для неко-
торого to<°°. Ввиду того что хронологическое упорядочение несовместимо с
(7.18) и (7.19) для больших t, для
(6.12) и (6.13) равномерно для всех (^}е{(7.18),
(7.19)} и (Хк+ь ..., xm)eGp можно получить
x*D9 П fPixh ti) <С#(1+|*|)-\ (7.21)
i=k+1
где Cff <. оо для всех jVeZ+ и всех одночленов ха, Dр в х\, д/дх\.
Следовательно, с точностью до члена порядка 0(|^| -°°) ими можно
пренебречь.
81
Рассмотрим вклад в 7\ (xft+i, хт), соответствующий некоторому Peom-ftc
(Р(&+1), ..Р(/)} =
= {&+1, ../}. Теперь можем в (7.17) сделать замену A (^(ft+i)) > • • •> А
(хР(т)) на
"4 (¦'¦a+i) • • • A(xi)A(xp (i+d) • • -А(хр(т)).
Это приводит в носителе /Р (хи U) для {U}, удовлетворяющим условиям
(7.18) и (7.19), только к ошибке порядка 0(|f|-"), так какг]>0 нами
выбрано достаточно малым и таким, что существенные носители S, (/,, U)
разделяются в пространственно-временных направлениях линейно по |^| для k
+ l^i^.1. Более того, 0(д:°pu)-хаР{1+\)) можно заменить 1, а сумму
функций 0, связывающую Xh+u ¦ ¦., *г, опустить с точностью до членов
порядка 0(|/|-сс). Это и доказывает (7.20). Согласно неравенству Шварца,
J П dxjpixt'tiXfb
i-k+\
. nut
X A (*A+l) '
X | fm+1 , •
X A(xt) I fi. X Tt (xJ+1, .
A (Xj) Тг (x
>Ъ> i
X
• " xm)X
/+1 ' •
UdxjpiXi, tt)*X
<=i
flut>
П dxjpiXi, U) X /=/+>
(7.22)
По асимптотическому условию для неперекрывающихся волновых пакетов первый
множитель в правой части ведет себя как О (| ^ | -°°) в подсекторе
(7.18),
(7.19). Так как второй множитель является функцией умеренного роста и
существует только конечное число различных секторов, то быстрое убывание
(7.17) нами доказано. Теорема 7.2 следует из того замечания, что
приведенное мажорирование может быть распространено на произвольные
неперекрывающиеся основные функции из ^(G*").
Функция из класса С°° абсолютно интегрируема по всем переменным tk+u ...,
tm и может быть вычислена двумя способами. Вычисляя в виде повторного
интегра-
82
ла по повторному полному дифференциалу, получаем вместе с (7.15)
амплитуду рассеяния. При этом не возникает вопроса об области
определения, потому что все волновые пакеты являются неперекрывающимися.
Производя допустимую замену интегрирования по t интегрированием по р в
пространстве импульсов, можно проинтегрировать (7.17) и получить, таким
образом, матричный элемент "ампутированного" Г-произведения,
ограниченного массовой поверхностью. Поэтому амплитуды рассеяния могут
быть выражены в виде "остатков" от
<Тг(р1, . . . , -рп)>о
на массовой поверхности [73].
Теорема 7.3. Для неперекрывающихся скоростей амплитуды рассеяния
удовлетворяют редукционной формуле
<Рь ¦ • • , РТ\ Pm+i - • • * > Р'п> =
= (- i]/'2it)"n б+(р/)/'п [(Pi, Pi) - m2] X
1=1 \i=1
• • • > Pmi Pm-H • ¦ • " Pn^^oj • (7.23)
Экстраполяции за массовую поверхность
|^П ((Pi, Pi) -tn2) <ГХ(Р], . . . , -pn)>о ,
зависящие от регуляризации % и проинтегрированные по pi,.. ., р" для
р,(r)"1 ^Р;(r)/"1 являются функциями класса С°°. Если можно определить
"резкие" обобщенные функции, зависящие от времени, то (7.23) остается в
силе и сохраняет свой смысл.
Последнее утверждение очевидно из доказательства теоремы 7.2, куда
