Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
ii=?k в ка-
честве первых двух коэффициентов. По трансляционной инвариантности
усеченное вакуумное среднее принимает вид
t k
I П dPi п\(-р,)Рг П ?(±P,)e±kS' X
k 2
П
/=1 V=1
Х5Ш(рь • • = J П <*рд(ра, . . . , pft)X
v=3 k
v-2
где
X expiQ(p2, . . ., pk)t, (6.7)
Й (pa, . . ., p*) = (r) f 2 Pv\ + (r) (pa) + 2 ± (r) (Pv)
\v=2 / v=3
X (Pa.......Pft) = j dpjh i-Pl) X
xnrfpS7<;)(±pv)Si(Pl.............Pkf, (6.8)
согласно теореме 4.5, принадлежит 5^(Я3<*-1>). Так как и fit
неперекрывающиеся, то
dp-i
= Pv) S Pv +(r)(P2)_1P2?=0 (6.9)
\v=2 / v-2
69
в suppx- Тогда существуют функции а,(р2, ..ps)e0M,
3 dQ.
такие, что 2 ai - 1 и в supp а*. Поэто-
i=i "Р2
му преобразование й <-> р2 регулярно в supp а%, и мы
имеем
J П Ф,аг(Ра, • . Р*)х(р2, • • P*)e!fi'6<W) (6.10)
v=2
для l^i^3. Так как коэффициенты (6.7) в разложении выражения
- ПА (fit tf'Q
dt Wt ;
ограничены no t, то тео-
рема 6.1 доказана. Наше мажорирование тривиальным образом может^быть
обобщено на произвольные непере-крывающиеся <р(ри "., рп)Щ^ (Gxn),
которые не обязательно имеют вид fi(8>...(§)/п.
Теорема 6.1 имеет несколько важных следствий.
1. Возможна непосредственная интерпретация
Фех(Л. •••, fn) для неперекрывающихся {fi}cz<?f (R3) с использованием
локальных наблюдаемых в качестве "счетчиков Гейгера" [74].
2. Стремление к пределу Хаага - Рюэля, как 0(|^|-°°), для
неперекрывающихся конфигураций не вызывает удивления в теории с
короткодействующими силами. Оно не зависит от размерности в нормальном
гиперболическом пространстве - времени. Поэтому даже в модельном
приближении [75] одно- или двумерного пространства, когда волновые пакеты
(5.17) убывают очень медленно, возможно построение разумной теории
столкновений.
3. Теперь мы в состоянии дать прямое доказательство асимптотического
условия Хаага - Рюэля (и ЛСЦ) для почти локальных полей без использования
явных оценок пространственной асимптотической факторизации вакуумных
средних. Рассмотрим однопараметрическое семейство основных функций для
fe#,(/?4):
f(x, t) = а (2л)-2 J dpe~Hp¦ x)~f (р) е,(р°-ш)* (6.11)
является решением уравнения Клейна - Гордона для класса, рассматриваемого
Рюэлем [21] и Араки [32]. Поэтому имеет место следующая равномерная
оценка:
I f (*, t) | < См (1 + 1 *° ¦- t |)-м (1 + *2 + /")_,/' (6.12)
70
для х? Сп (/, О и
| f (х, о I < Cmn (1 + i л:0 - ^ I Гм (1 + х2 + P)~N (6.13)
для остальных случаев.
Здесь С" (/, определено как множество точек х = рю-1/, возникающих по
крайней мере из одного р в ri-окрестности suppf с фиксированным т1>(ЬСдг,
CMn<oo для всех М, N^Z+ являются константами, не зависящими от (х, t). За
исключением экспоненты 3/4 в (6.12) (которая для наших целей может быть
заменена тривиальной экспонентой 0), мажорирования
(6.12) и (6.13) легко могут быть получены интегрированием по частям.
Легко увидеть, что f(x, t) вместе со всеми производными быстро убывает
при удалении от своего "существенного носителя":
KQ, 0 = [х :х° = t, х ? С, (/, 01- (6. И)
Используем соотношение d/dtA(f, ?)*Й = 0 и напишем
л 2
^•П AM(t)Q <=1
в виде конечной суммы членов
±<АЦ" t) . . Aif^tf'j .
¦ • -A(fn, f)*>о (6.15)
с i=?*=/. Для неперекрывающихся {f,}c=#' (G) сущест-
венные носители Sy(fi, t) и S^ (fj, t) разделены в
пространственноподобных направлениях линейно по t (для достаточно малых
1]>0). Ввиду (почти) локальности, коммутатор дает вклад порядка
0(|^|~°°), компенсирующий полиномиальный рост по другим переменным. Это
доказывает теорему 6.1, содержащую асимптотическое условие Хаага - Рюэля
(и ЛСЦ).
В случае нулевой массы свободный волновой пакет
;(х) " Jшт?(р) е~ ' 1 р 1 _рх) - (6-16)
/\
где f^S^iR3) и Og=suppf, движется в х-пространстве
71
А
со скоростью света в направлении р|р|-l, pesupp f. Хотя пространственное
условие в этом случае слишком слабо, вышеизложенные соображения тоже дали
бы ие-перекрывающиеся я-частичные состояния рассеяния в сильной
сходимости, если бы существовал (почти) локальный Be? с В*, рождающим из
Q в точности одночастичное состояние. Однако нет оснований верить, что
такое решение одночастичной задачи в терминах локальных полей возможно
для частиц с нулевой массой. Трудности, связанные с асимптотическим
условием в случае нулевой массы, рассматриваются в работах [76-78].
4. Существует нетривиальное расширение областей для неограниченных
операторов Be? над D.
Пусть ф^3?(Gxn)-неперекрывающееся состояние; определим
Ф(Ф, 0 = ап1^/ир(А, • • •. Рп) X X exp i 2 (р°г - ю,) t П а (_Рп) q
r= 1 r= 1
(6.17)
и пусть Фех(ф) его асимптотический предел. Для любого Be ?, согласно
неравенству Шварца, имеем
В^-Ф(Ф, О
at
х
X
в*в^ Ф(ф, О
(6.18)
Вследствие умеренного роста вакуумных средних второй множитель в правой
части растет самое большее полиномиально по И, первый же ведет себя как
0(|*|~°°) для t->~±оо. Поэтому ВФ(ф, 0 тоже сходится при f-v ±ОО в
сильной топологии.
Для любого Be? замыкание В -В** существует
(см. гл. 2).
ф е<да*п)
Поэтому для неперекрывающихся
