Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
области связанных амплитуд рассеяния <Рь ..., PmUt|<7i, • • •, <Jn'>'X
X(tn, п^З) для любой стабильной частицы.
90
Эти сингулярности следуют из экспериментальной
осуществимости следующих друг за другом реакций с большим времяподобным
разделением. Рассмотрим, например, трехчастичный процесс P4+Ps+P6->-
pi+P2+ +р3 между частицами с одинаковыми массами. Вероятность перехода
мала для большинства значений импульсов ри ¦ •Рв, за исключением,
например, окрестности
(Р1 + Р2 - Ptf = т2,
Рис. 2. Диаграмма с перерассеяиием.
где возможны последовательности двухчастичных реакций
Ръ + Ре Рз + Р, Р + Pi -*¦ Pi + Pi-
При макроскопическом пространствеиио-времениом описании член повторного
рассеяния четче всего должен проявляться в процессах с "каузально
независимой" конфигурацией. На рис. 2 частицы 5 и 6 сначала
взаимодействуют с частицей 4, оставаясь разъединенными в пространстве -
времени. Затем уходящая частица рассеивается на 4, с переходом в 1 и 3, в
то время как 3 движется далеко в стороне. Частицы 3 и 4 причинно
независимы в том смысле, что в то время как 4 остается
91
отделенной большим пространственноподобным интервалом от 5 и 6 "до
взаимодействия" (в асимптотическом смысле) и аналогичным образом 3- от 1
и 2--"после взаимодействия", интервал между 3 и 4 большой и
времяподобный. Поэтому наложим на ри ¦¦¦, Рв на массовой поверхности
следующие кинематические ограничения:
а) равномерно неперекрывающиеся скорости Vi =
= PiW(p<)-1
Vi ф v2> vx Ф kv3 Ф v2 для всех К > О, v"?=ve> vs ?= Pv4 ve А113
(8.10)
б) причинная независимость частиц 3 и 4: пересечение Р светового конуса
будущего в 0 с лучом {(рр°4+1, PP-t), р^О) и пересечение Q светового
конуса прошлого в (1,0) с {ррз, р^О}' должны определять
пространственноподобный сегмент PQ (см. рис. 2).
Тогда покажем, что связанная трехчастичная амплитуда в почти локальной
квантовой теории поля удовлетворяет следующему времяподобному кластерному
свойству [92].
Теорема 8.3, Пусть в предположении гл. 6 (без асимптотической полноты) ри
р6 является трехчастичной конфигурацией рассеяния, удовлетворяющей а) и
б). Определим со* = со(qi), со = со(q4 + 42-Я4) и 6
Т (0 = J П (Ч<) е" ' * х
Х<Ч1Ч2Ч?и'|<МЬЧбП>г- (8.11)
?ч
Тогда для всех h^2>(Ut(Pi)) (e = e(pi,..., р6)>0 достаточно мало).
т (0~ J ~ <hhut 1 fAin>r <q/°3ut I hf?>T= 0(1/1-)
(8.12)
для f-v+oo, а для -00 T(t) ведет себя как 0(И-~). Одночастичная
неприводимая амплитуда по отношению к q2= {qi + q2-qi)2
<Ч1АаЧз"' I Ч*ЧЛбП>г -lim(<7* q) - m* + ie)"' X
ei°
X
f "ё" <4i4°2Ut 1 44qin>r <qq°3Ut 1454(r)n>r • (8,13)
92
Проинтегрированная по остальным переменным с основными функциями,
обладающими достаточно малым носителем вблизи Pi,..., ре, принадлежит
классу С°° в соI + <02-"4-(о в окрестности начала координат.
Замечание. В (8.13) можно найти причинный пропагатор, хорошо известный в
теории возмущений для одночастичных приводимых связанных диаграмм. Связь
"рецепта ie" с причинностью была
5уководящим принципом в подходе Штюкельберга [93] и Фейнмана 94] к теории
S-матрнцы и была четко описана Фирцом [95], а также недавно Вандерсом
[96] н Ягольннтцером [97]. В теории аналитической S-матрицы большое
значение имеет правильная одночастнчная структура, однако доказательства
формулы (8.13) с помощью условия аналитичности н унитарности несколько
громоздки, так как в них предполагается сингулярная структура типа Ландау
в окрестности критической точки [98].
Циммерманн [81] первым рассмотрел в рамках подхода ЛСЦ вакуумную и
одночастнчную структуру хронологических обобщенных функции. Дополним его
результаты количественными оценками стремления Т (t) к своему пределу или
оценкой регулярности одночастичной неприводимой амплитуды. Из нашего
подхода станет ясно, что одпочастичная структура S-матрицы существенным
образом завнснт от одночастичиого спектра н малости радиуса действия снл,
однако не зависит пн от аналитичности, нн от унитарности.
Доказательство. Используем ту же методику, что и при выводе редукционных
формул ЛСЦ. Идея заключается в том, что аппроксимировать T(t) вакуумным
средним произведения одночастичных состояний, зависящих от t (с точностью
до членов типа О(|^|~°°)), которые ведут себя как О ([ /1 -°°) при -оо, и
отличающимся от
J-Ш <A/r|?qin> <ч/Г | ffin>
членом типа 0(|^|~°°) при оо.
Для ?>0 выберем е>0 малым настолько, чтоб все U? (Pi)czG и чтобы (qi +
q2-q*), (qs+qe-для всех q^Ui (pi). Тогда из спектрального условия для
(Pi)) следует, что
J dq3dqbdq^U Ы * h Ы h Ы A (q3) А (-q3) A (-qe) Q (8.14)
является одночастичным состоянием. T(t) - предел некоторого выражения
F(s, и, v, t) = *"$dqfl /Н^)е"'(,?_"')(5+0/зЫХ
t=i
ч/ ' (93-"О <"-Н) Г , , -i ('"?-".) О Д Т, ,
Хе * 3 > М?4)е > ПШХ
i=5
93
Xе . . . , -Ь)т (8.15)
при s = u=v-+ оо.
Из рис. 2 видно, что для р\,..., р6, удовлетворяющих а) и б), существуют
Л1>0> Лг, Лз<Ль такие, что точки
Р1 - (1 + Ль Л1у1)> Р% = (1 + Ль ЛМ).
Рз - (1 + Лг, (1 + Лг) уз)> Р* = (- Лз> - (1 + Лз) v4).
