Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
Если в многочастичной реакции некоторые из входящих и уходящих частиц
удалены на бесконечности в пространство (это
•''Ч ?'¦'ч
соответствует переходу f (р)-f°(p) =е1(р> °) др" , то
lim <ft 7*6+,,. • • ,7?°"4Х
а=(0, а)->ео '
X | gh • • • j ' ' ' • > ~
=<Л ?utlft. • • •, й>х
х<Л+ь. . . ,/?иЧ"*+1.................й*> (8-1)
с точностью до возможного коэффициента должно иметь место в любой
разумной теории S-матрицы. А так как все входящие (уходящие) частицы
могли бы взаимодействовать в удаленном прошлом (будущем), то приближение
к пределу вообще должно определяться медленным расплыванием волновых
пакетов, даже в теории поля с короткодействующими силами.
Руководствуясь ожидаемым результатом, определим связанные амплитуды
рассеяния с помощью
<fi- • • • . frlgi. • • • "С>Г =
= <А. • • - ,/Г I*,. • • '?п>~
~KfZ • . . , , in>r< . . . >г. . . ,
част
(8.2)
87
где 2 распространяется на все разбиения {/(} U lg/1 и
част
<?i I 0>г= <0 I gj>T = 0. Получим
<Ти • • • . fc'lei, • • • . ^>г =
m п
= Нш < П Л (Л, s) U-A{gJt t)*>T. (8.3)
В теории возмущений (8.2) соответствует сумме повеем связанным амплитудам
Фейнмана для процесса:
8i + • • •+grn_>/i+* • •+/rn-Полезность этого определения следует из
работы [85].
?-ч
Теорема 8.1. Предположим, что {/,} сг 3* (R3) и определим:
R(а) - шах Iа, - а,| для (а/ = (0, аг), 1 < I< л}.
1 <К]<п
Тогда
к/?,. .-,?>out I/&T1.. • ..fVK
<c(l +R(a))~4' (8.4)
равномерно для всех (а\, ..., an)^R3n при с<оо.
Доказательство. Мы задаемся целью аппроксимировать связанную амплитуду
рассеяния с помощью вакуумных средних одночастичных состояний равномерно
в (ai ап) при конечных ^>0:
I <"" № 1 Ря* out Cfm+l fn In'sT _
I ''-/i > • • • i lm 11 m+l > • • • ' In ^
-<n n i4(/?",-/)*>rl<c(l +0_/'- (8.5)
/=1 <=m+1
В силу теоремы 5.1 это возможно при любом выборе
л ^ q
/ie^(G) с fi(ffl, P)=/i(p). Основные функции ft1 (x,i)
в (8.5) быстро убывают с удалением от (f/t t) = = Sn (fu t)+Oi [cm.
(6.12), (6.13)].
88
Если выбрать t=R(a)[9(n-I)]-1, то одночастичные состояния в (8.5)
попадают в два пучка с пространственноподобным разделением,
увеличивающимся линейно по R(a). Согласно следствию 4.3, второй член
ведет себя как 0(|rf|-<x>), поэтому теорема 8.1 доказана.
Следствие 8.1. Предположим /?(а)=тах|а*-а;|. То-
i<i
гда
lim R (ay <рь . . . ,р(tm)ЧРт+1,. . . , р|">г X
R (а)->оо 1
Хехр (i ( f Р, а, - % р*аЛ) = 0 (8.6)
I \л=1 г=(я+1 п
для всех р<*/г в сильной топологии в ^"(jR3").
Очевидно, можно освободиться от выделенной роли, которую играет
пространственноподобная гиперплоскость ал=...=ап- 0. Мы убеждаемся таким
образом в том, что связанные амплитуды рассеяния не обладают
больше "вакуумными сингулярностями", т. е. 6-функ-
циями для сохранения энергии - импульса подгруппы частиц,
взаимодействующих только между собой. Эти амплитуды (в спинорном базисе)
являются исходными в теории аналитической S-матрицы [86, 87]. В
нерелятивистской многоканальной теории рассеяния [63] могут быть получены
также асимптотические свойства факторизации, и исключение несвязанных
функций Грина существенно для уравнений Фаддеева [61, 88].
Можем использовать тот факт, что для неперекрывающихся волновых пакетов
предел Хаага - Рюэля до-стигаетсяс точностью до членов типа О (|f|~"*)
для того, чтобы вывести более сильные свойства асимптотической
факторизации для некоторых "равномерно неперекрывающихся" процессов
рассеяния. Избегая кинематических осложнений, сформулируем следующую
теорему только для двух пучков [85].
?-ч
Теорема 8.2. Предположим, что
crSС/?3) по отдельности неперекрывающиеся. Тогда предел в (8.1)
достигается по всем направлениям е= = а | а [-1 с точностью до членов
типа О ([ а | -°°) при
at Ф р,-(ог' - pjwy1, 0 < а < оо, (8.7}
80
где
/S /ч
P/6supp/Hl < г'<*). P/6supp//(^ + 1 <;'< 0.
или
/ч /ч
Р(6supple1 < 1 < т)> Pj€smgj(>n + !</<")•
Доказательство. Если (8.7) удовлетворяется, то минимальное разделение
существенных носителей функции ffV, о для фиксированного t и 0^а<оо
растет линейно по t. Поэтому (8.5) ведет себя как 0(Ц|-00), как в этом
легко убедиться с помощью оценок, использованных в доказательстве теоремы
8.3.
Упражнение 4. Можно определить область столкновения двух
/Л, /S,
частиц в состоянии рассеяния Ф*п (f 1, fe), измеряя вероятность перехода:
l(*out(g?, Ъ, Ф'п tfi, ?2" I = Г (а) (8.8)
с Oout (gi, g2) изменяющегося параметра столкновения а=(0, а). Какое
поведение более быстрое, чем 0(|а|_0°), можно получить,
используя соответствующие волновые пакеты в 5-матрице Хаага-
Рюэля? Швингер [89] дает следующее асимптотическое поведение:
2("-LP)/'(t) ' Х
X ехр [- (cos -f-) (-"-)*] sin + , -
f)'j (8'9"
для у->-oo, где а=а(1+а), Х>0, а>0.)
Одночастичная структура
Нетрудно привести примеры лоренц- и TCP-инвариантных унитарных S-матриц,
которые не будучи физически приемлемыми обладают правильной вакуумной
структурой (например, общая фазовая матрица ЛСЦ [55, 73, 90, 91]. S-
матрица должна иметь к тому же одночастичные сингулярности в физической
