Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
dldsV2nA(fu s) *фт удовлетворяет
II/mWIKc.O + M)-*"- (7-4)
о
Поэтому J rfse' F\(s) равномерно сходится для е^О, -00
О
и операции lim и J можно переставить местами:
? J 0 -00
А (fi) ф1п - Аш (/х) Ф!п = lim f dse"Fx (s) = lim Г dsi X
"и "* о -i"
X J dpf[ (p) eis(p°-ffl-i=) (p° - (o) l(-p) Vя. (7.5)
76
Отметим, что р°+ш^т в supp f\, и для е>0 в топологии #Ч/?4) имеем
lim ft(Р) ехр is (Р° - Q) - ie) __ д. (7.6)
$_*_<" (р°со) (р° - to - ie)
Используя это условие, можно проинтегрировать (7.5) по s:
А (Ы V - Л- (Ы У" = - lim j ip + X
X / (-Р) 4>,n = J dxh (.*) Am* (X - if) / (if) *In, (7.7)
где [27}
ret i "л dbe~ ?)
Amv (I) = - Hm J (fco ± ie)3_k3_m2 • (7-8)
Аналогично можно показать, что
A(h)qln-Aln(f2)qln = -<79>
Ввиду того что массовая поверхность лежит вне носителя функции f3, имеем
А1п(/3)=0 и А(/3)фш= = $dxf3(x)Ат* (х-р)/(р)ф1п. Сумма этих трех вкладов
дает (7.2) в качестве тождества обобщенных функций.
Возьмем матричный элемент оператора А(х) между d)°uteDout и фшеД)П, затем
используем (7.2) и тождество Amet(i) =Am(g). Тогда
(Aout (х) Фоа*, V") - (Фои', Ain (х) 4>in) =
= UyAn(x-y)(<boa\ j(y)*ln). (7Л0)
В импульсном пространстве правая часть принимает вид е (Р°) б ((р, р) -
т2) [(р, р) - т2] (фои', А (-р)
77
Это выражение полностью определено как сужение непрерывной функции к
массовой оболочке в связи с асимптотическим условием. Существенно, что
F (0 = J dpf(p) eHp°-m)t l(p, р) - m2] (ф°и', А(± р) V") = = - i ±$dpf(p)
(Р° + (r)) е,<р*-и)' (Фои\ Л(± р) vn) (7.11)
ведет себя, как 0(|(|~3/," ) при t->-±oo вместе со всеми производными для
fe еР (/?4) с supp fc={(p, p)<4m2}. Пусть f(p) есть %(р) [(р, р) -/п2]
(Фои*, Л(±р)$1п), где %е0м имеет носитель в {(р, р)<4т2} и Ъ(р) = 1 при
(р, р)<4т2-е, 8>0. Рассмотрим У(р) как обобщенную функцию умеренного
роста т (q) по переменным q°- = р°-ш(р), q = p. Тогда из (7.11) следует,
что для всех /е=<Г(Я4)
J dqf (q) е'дЧ т (<?) - (т * /) (- (, 0) ? DL, ((), (7.12)
т. е. принадлежит классу С°° и вместе со всеми производными абсолютно
интегрируема по f.
Общепринято считать, что убывание обобщенной функции на бесконечности
эквивалентно локальным свойствам регулярности ее фурье-образа. Поэтому
[14]
Л ^ к"ч
$dqf(q)x(q°, q) непрерывно по q° для всех что и определяет [(р, р)-
/п2](Ф011*, Л (±р)ф1п) | р"=о>. Предыдущие рассуждения о смысле уравнения
Янга - Фельдмана с точки зрения теории обобщенных функций служат для
иллюстрации общей картины редукционных формул ЛСЦ для амплитуд рассеяния.
Чтобы избежать возможных вопросов о существовании функций Грина в
терминах вакуумных средних, определим хронологические и опережающие
произведения полевых операторов, используя при этом регуляризованные
характеристические функции.
Пусть %sSb{Rn-x) - произвольная функция, удовлетворяющая для всех PeS"
(группа перестановок п элементов) :
X(Sl (r)2> • • • 1 sn-1 ^я) = % (Sp( 1) Sp( 2), . .
Sp("-1) SP(P>)>
J dti, . . ., (tu ¦ . ., ta j) = 1. (7.13)
78
Тогда существуют "гладкие" хронологические и опережающие произведения в
виде хорошо определенных обобщенных функций умеренного роста
Гх(*Ь • • • . Хп) - (Xl (I) -Л><2) * • • • "
х°р{п-1) -
- хр(п))^(хр([)" • (7.14)
*2.....*") = S"_1 0х(^(")-^("_D.....*2,2)"*?)
[. . . [A (Xi) ^4 (дгр (2)) ] ' • • Л (-^р (га))] "
где
0х(*°<1) ~Хр(2)> • * • ' •'p(n-l) -Х°(Л)) =
= J d (sx ^2) • • . d (sn_j sn) % (Si S2, . . . , sn_j s") X
X 0(XP(O _ SP(1) ~ Xp(2) +Sp(2)) • • •0(A'°(n-I)~
Sp (n-1) (n) Sp (n)) ? (^ *)•
Связь с амплитудами рассеяния, оказывается, не зависит от точного вида
регуляризации; она распространяется и на резкие функции Грина во всех
случаях, когда последнюю можно определить.
Если обратить внимание на свойства носителя Тг(хи ..., хп) в х-
пространстве, то (7.10) можно обобщить на известную формулу ЛСЦ [73]
(а°"'(/)<*> Ф°"', Тг(Чу. . х"Н>п)_
-(Фои', Тг(х2г. . хп)а1п(7)(*>ф!п) =
= ^ i jdxx/(*)(x1)(n1-f/п2)(Фои1, Тг{хъ . . . ,хп)х|зш),
(7.15)
которая имеет место для Фои' ?Dout, tyin?Dlo и для
??&(#) И № = (2л)_3/г J dp0(p")6((p, р) ~
- /и2ШР) - Чр, х),
79
а сужение в пространстве к массовой поверхности существует в виде
непрерывной функции по критической переменной.
Более сложен смысл повторного применения (7.15), служащего для полной
редукции амплитуды рассеяния [79]:
Теорема 7.2. Обобщенная функция умеренного роста
т
О ((Pit Р{) fti2) Pi, . . . , ! i > • • • > dh
/=*+i
± Pm I Pm+i . • • • . P%>, (7-16)
проинтегрированная no pi, ..., pn с неперекрывающи-мися основными
функциями из S'{RZn), является функциями из класса С00 по рк+i-сой+ь ...,
р°т-в окрестности начала координат.
Доказательство. Для неперекрывающихся {/*} с: (ZJf (G) определим U{x,t),
согласно (6.11) и fi(x, t), как d/dtfi(х, /). Тогда можем утверждать, что
интеграл
m хч /ч
J П dXlf\ ^ (ХИ • • • > /*,"* I > • • • " xm) I X
i=/H-l
XI Ли-i . • . 7n> (7.17)
лежит в области of (Rm~h) по переменным 4+1, ..., tm-Ввиду того что все
производные по t от С°°-функции
(7.17) остаются того же типа, нам надо только доказать, что (7.17)
