Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
<в!р(х1)Я0хВ^р(^)>о| <Яр3[|Г3/ге-тШ^1 +
(4.36)
для [?]^8>0. Множитель р3 получается из V(Gi), и константу Е можно
выбрать независимой от р, так как ф/Р принадлежат ограниченным множествам
в <F(/?4r(i)) для 1^Гр<оо, вследствие чего нормы типа ||? Ц0)Й||
ограничены относительно р.
В правой части соотношения
М1) = 2 <В{Р(х1)ЯоХЧ(х2)>о (4.37) i.i=i
50
один член мажорируется выражением (4.36), в то время как остальные
стремятся к нулю быстрее любой степени р-1 при р-*-оо вследствие
умеренности роста вакуумных средних. Если ограничить | неравенством
||°|^А.|1|> 0<Л<1 и выбрать
ш = [(I SI - 2рГ - 15° |2]'Л > I g | - vj1, >
и все члены в (4.37) убывают быстрее любой степени ||| при ЦКоо, т>0.
Следствие 4.1. В предположении теоремы 4.1 и в силу умеренности роста
полей hl2(Q для срt&^'(/?4r<i>) стремится к нулю быстрей любой степени
|Ц-1 = = [--(?> i)]Vl. при |||->-оо в пределах ||°|^Я|||, 0< <СЯ<С 1.
В случае т=0 (4.36) следует заменить
<К (%) В\, (л*)>0) <Яр3 [?]2( 1 + -М-) . (4.40)
Если заменить р величиной с более медленным ростом, чем (4.38), например
для |Ц>(1-[(1+Я2)/2])-' произвести замену
то получим следующее следствие.
Следствие 4.2. В предположении теоремы 4.2 и в силу умеренности роста
полей h\2(%) для фieF(^?4r(<,), стремится к нулю как |||_2+,) для любого
tj>0 при [||->-оо с ограничением |?°|^Я|||, 0<Л.< 1.
Наконец, теорему 4.3 можно обобщить с помощью следствия 4.1.
Следствие 4.3. В предположениях теоремы 4.1 и в силу умеренности роста
полей
D<B1(x1), . . Вп(хп)>т €tf(R3(n-l)) (4.42)
(4.38)
то
(4.39)
в переменных xt-+i-х,, l^i^n для х?=*...=Хл и ф,е Gr^(/?4r(i)), где D -
произвольный дифференциальный полипом по d/dxi-
51
Можем улучшить наши результаты, использовав интересное замечание Борхерса
[67]. Усеченное вакуумное среднее в качестве обобщенной функции в
переменных li=Xi - xi+u W7(ii,-.-, i")г= <Л(хо)А(хп)>Т имеет носитель в
импульсном пространстве, лежащий в VlX-'-XVl. Умноженное на x^e^OR1) оно
становится функцией, быстро убывающей по всем переменным:
У(чъ ¦ • ь . . .,<?")• (4.43)
Доказательство. Функция умеренного роста WT имеет вид
Щъ • • П (1 + II щ II*)*?fa ц"), (4.44)
/ - 1
где для некоторого N V. является ограниченной обобщенной функцией [14] с
носителем в FpX...XFp,
0<р<т.
Для любого M^Z+ выражение
П (1 + II 41 \?f^TX ( ? А = ~М?ь .... <7")}Х
i=i \i=i /
Х%.............?") (4.45)
также является ограниченной обобщенной функцией, так как легко показать,
что_Ь^ вместе со всеми своими производными в V-X...XV- также является
ограниченной С°°-функцией, что достаточно [14] для доказательства (4.43).
Из формулы (4.43) Борхерс получил следующую
теорему, которая является одним из нетривиальных об-
общений для неумеренных полей.
Теорема 4.4. Пусть А(х) удовлетворяет всем аксиомам Вайтмана, кроме
локальной коммутативности. Тогда для каждого фe<F(/?1)
Лф (х) = J dx°ф (х°) А (х) (4.46)
является линейным оператором в (| с общей плотной областью D' и
A4>(x)D'czD'. Для всех феД' Лф(х)ф принадлежит 0м (х) (Я).
Доказательство. Для любого топологического линейного пространства ЕВм(х)
(Е) является множеством С°°-функций ф(х) со значениями в Е [34], которые
вме-
52
сте со своими производными полиномиально ограничены. Из (4.43) немедленно
следует, что <A(xi),..., А(хп)>о принадлежит 0м(хь--, xn) (<F'(x?,...,
х2)). Согласно аксиоме V, линейная оболочка состояний
D' = LH {о, П А^ (х,) Q, п = 1,2 Фг 6 & )RX) J
(4.47)
плотна в §, а из того обстоятельства, что скалярное произведение между
состояниями из D' можно выразить через вакуумные средние, можно сделать
вывод, что для феП' Ар (х)ф есть С°°-функция, и она вместе со всеми
производными полиномиально ограничена в сильной топологии в§. D' тоже
является областью Гординга для U (а, X).
Используя теперь те же соображения, что и раньше, даже при более простых
свойствах носителя в х-прост-ранстве при дополнительных предположениях о
локальности можно показать, что для фi^S^iR1)
<Аф1(х0), . . ., Арл (х") >r ? <F (хх - х0, . . .,ха-ха_д
(4.48)
и что она вместе со всеми производными убывает как #s/*exp(-mR) для
фг^ЗН/?1). Это дает возможность сформулировать следующую теорему [20].
Теорема 4.5. Пусть А(х) удовлетворяют всем аксиомам Вайтмана с наименьшей
массой т>0. Тогда усеченное вакуумное среднее И7(|,,..., |")т= =
<у4(хо),..., А(хп)>Т в р-пространстве удовлетворяет условию
J ПФ?ф(/>?, . . ., p°n)W(Pl, .
(pi. • ¦ • * Pn)
" .7
" Pn)
"=1
(4.49)
для фe<F(/?n). Более того, если ф<=3)(Rn), то (4.49) аналитично для
комплексных pi,..., р" в {| Imp*[ <mfn2}. Аналитичность (4.49) следует из
экспоненциального убывания выражения
jn dtUifi ?2) W(lu .... уг,
R = шах
7=1
k
<=/
53
Пространственные асимптотические свойства факторизации в теореме 4.5
показывают, насколько ограничено поведение вакуумных средних как-
обобщенных функций учетом локальности, спектральных условий и
положительностью метрики в §: они ведут себя ничуть не хуже, чем
вакуумные средние свободных полей. Предлагаем выполнить следующее
