Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
и "буст" L(p) регулярен для р Р>0:
L(p) = [2 У (р, р)(V(P, Р) + Ро)]"7, W(Р, Р) + Р° + Р"Ь
(5.9)
По построению В(р)$ ковариантен по отношению к iSL(2, С):
U (а, Л) В (p)l U (а, Л)"1 = е,(Ар' а) D|v (Л-1) В (Лр)т (5.10)
Определим, как и в (3.17),
В (?, /)* = s J dP?(P)"ъ е1(р0~"к <5-1 *)
а--s
с соответствием е|рЧ~еш1| е_1"г ~ e-1JV (Нг - канальный гамильтониан).
Этот оператор обладает замечатель-
/ч
ными свойствами. Если /(p)aG(F(/?3), то ввиду условия
/(?*) ф"(*н°>(Рь ¦ • pn)"€&(Rin)
\i=J /а
57
получим
Br (f, t)Q = О, Вт (/, Q*G = Фг Ф € Ъ [m, s],
U(а, А)Фгф=Фг(иг(а, Л)/).
(5.12)
Основные физические идеи, используемые при доказательстве следующей
теоремы, принадлежат Хаагу [64]. Рюэль [21] же дал математически строгое
доказательство на основе аксиом Вайтмана.
Теорема 5.1. Предположим, что 'Вге?(г=[т, s]) удовлетворяет условию
'BrQel)[m, s], 'ВгО, - 0, и пусть
Br(f, t) определяется согласно (5.11) с {/ (р)"} cz <^(/?3). Тогда
состояния
сходятся при f-"-± оо в сильной топологии в 1). Предел равномерен в
(аь..., а")е/?3п для всех волновых пакетов, перемещенных в пространстве:
Доказательство. Во второй главе мы видели, что Ф(0 принадлежит классу С°°
в сильной топологии в 1). Как и в теореме 3.1, достаточно доказать
ограниченность |?|3/'||й?Д#Ф(^)|| равномерно для (аь..., ап)е/?3п. Наша
техника основывается на разложении вакуумного среднего оператора
||d/df(r)(f)||2 на сумму произведений усеченных вакуумных средних. Так как
то слагаемых, содержащих только двухточечные функции или по крайней мере
одну одноточечную функцию, не возникает. Вклад от ^-точечной функции
(&^3), согласно трансляционной инвариантности, является суммой членов
Idpt, . . ., dpkf[(pt), . . fi Ы exp i X
X(±(r)i(pi). • • •, ±(<•>*• (p*))t<CBr1 (Pi)i,\ . . .
ф(0 = nBr. (fi, tf]Q
(5.13)
fa (P) = e-ipa f (p),
(5.14)
Brff,t)Q = ~Br(f,trQ^O,
(5.15)
58
Выражение
J П dpfft (Pi) (1 + P?)'V <Bn (P.i? Ak (ph)^>Ti
согласно следствию 4.3, имеет вид
(2я)ш'16^2 Pi) In ("Яг -q*),
где
q/-SP; и iN {RHk~x))
/=<•
для всех JVeZ+. При переходе к х-пространству (5.15) принимает вид
j П ^Х"/дг (Xi. О XjV (Х2 - ХЬ Х?-1 xa)i (5.16)
i=i
где
fit (х, 0 = (2я)"3/1 J dp (1 + p2)_w exp -i (± ю,- (p) t - px)
является решением уравнения Клейна-Гордона для достаточно больших N,
удовлетворяющим [21, 32]
sup | fN (х, t) | < clN (1 -f \t |)_,/'; (5.17)
X
Jdx|/^(x, i)\<dlN(l + \t\)th.
Используя %N^of (R3(k~x)), мы можем мажорировать
(5.15) выражением
A-l
п sup J fN (x, i) I j dxfkN (x, t)
i= l *
a-i
jnd5,
Xn (§i> •
?=i
• . .,5*-i)l<c(l + mr>(*",)/2. (5.18)
Очевидно, что оценки (5.17) и (5.18) равномерны в (аи..; an)^R3n. Если
неисчезающее произведение усеченных вакуумных средних содержит
трехточечную функцию, то оно содержит также (2/+1)-точечную функцию
(1^1). Поэтому каждый член в разложении оператора ||d/di<D(?) ||2 ведет
себя, по крайней мере, как 0(Н|-3) при t-*-±оо, что и требовалось
доказать. Тогда интерпретация функций
<С. . .,гп(% . . = lim п в г (fi, t)*Q (5.19)
59
как состояний рассеяния подтверждается аналогией с нерелятивистской
зависящей от времени теорией рассеяния. Как и в гл. 3, мы сейчас докажем,
что подпространство 1)вх, натянутое на состояния (5.19), является
пространством Фока над одночастичными пространствами f)[m, s] и что U(а,
А) действует в пространстве f)cx, как антисимметричное тензорное
произведение неприводимых представлений [т, s].
Теорема 5.2. Пусть f)ex - замыкание линейной оболочки Dex состояний r
(/i,..., fn) и й. Тогда
асимптотические свободные поля определяются на Dex через
Ф" "(7................7Л) = lim Вг(7, tf> X
X П Вг. (h, f) й,
1=1
а? №* ФЖ (?) Q = 0 (5.20)
и на Dex они удовлетворяют
[a? (f), a?Q)]± = [a?(f)*, с?(?)]±=0, (5.21)
[агх(7), arfi*]± = м?. Ъп
где "+" стоит между двумя операторами Ферми, а "-" - между операторами
Бозе, и
(/7 g)r = +2 [dpQ(p°)8(p*-m2r) X
э=-*(/->
x7(P)J^? (р)Й(р).. (5.22)
т
U(а, А) действует в пространстве 1)ех согласно
U (а, А) аТ (7) U (а, А)-1 = a? (U, {а, А) /). (5.23)
Доказательство. Так как Ф(^) в (5.13) сильно сходится, то можно вычислить
скалярное произведение между двумя входящими (выходящими) состояниями из
lim<nBr/(ff, t) YlBSj (gj, i)*>o. После разложения по усеченным вакуумным
средним при t-*-±оо остаются
60
только члены, являющиеся произведениями коэффициентов:
со знаком "±" - согласно определению усеченного вакуумного среднего для
операторов Ферми. Уравнение (5.20) непротиворечиво определяет линейные
операторы
А
а(r)х ^ (*> с инвариантной областью Dex, так как при
II а? Й*Ф" |р = Нш (Ф(0, В г (?, О Вг (?, t)* Ф(0) = 0. (5.25)
Правильная связь между спином и статистикой в коммутационных соотношениях
(5.21) следует из (5.24) по теореме о спине и статистике для вакуумных
средних.
Наконец, докажем лоренц-ковариантность асимптотических полей, которая
является непосредственным следствием равенства
U (а, А) Вг (/, 9<*> U (а, АП1 = Вf (IJr (a, A) f, if', (5.27)
