Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
(4.25)
Если отказаться от спектрального условия и предполагать только, что supp
dE(p)c.V+ и что Q - единственное собственное состояние Р принадлежащее
собственному значению 0, то 7i(p)dp не содержит членов типа б(р) и из нее
можно по-прежнему получить однозначно ее положительно-частотную часть
%\2{р). Поэтому каждый шаг в доказательстве теоремы 4.1 сохраняет свою
значимость вплоть до уравнения (4.23) с т\0. Ввиду условия
Д^(?) = -1(2я)-2(|, gp" для (g,S)<0 (4.26)
и благодаря ограниченности kKi(k) и k3-^-[Ki(k)lk]
ok
для k^O легко убедиться в том, что условие
• 1 Л" I г I-
л+
выполняется равномерно для k^O и (?, ?)<0 с ^6>0. Эти результаты
сформулируем в виде теоремы.
Теорема 4.2. В предположениях теоремы 4.1 с т - О имеем
I Am (g) I < V (GД [Б]- (СЛ + СЛ . (4.28)
Для изучения асимптотического поведения вакуумных средних п пучков
<Bi(xi)Вп(хп)^>0 удобно исключить й как промежуточное состояние, причем
симметричным образом, для сохранения свойств локальности носителя. Как и
в статистической механике [66], усеченные вакуумные средние определим как
Вп(хп)>г = <В1(х1)....... Вп(ха)уо-
\(%)>ТХ
ха№(\+1)->7-; (4.29)
часто вместе с <B(x)>r = <B(х)>0-2 распространяется на все разбиения
часть {г'ь..., 4}, {4+1...}... множества таким образом, что в каждом
усеченном вакуумном среднем порядок операторов такой же, как и в
<Bi(xi),..., Вп(хп)>т и l=/<ift+i<... Для фермионов дополнительный
знаковый множитель указывает на число перестановок фермионов (mod 2) при
переходе от 1,..., п к гь..., in.
Теорема 4.3. В вышеупомянутых предположениях и при /л>О <Вi(xi),...,
Вп(хп)>'1' стремится к нулю, по крайней мере, так же быстро, как R3i>exp-
mR/(n-1) при стремлении диаметра точечного множества {*,} к бесконечности
и х\ = ... - хп •
Замечание. Эта формулировка не оптимальна ввиду выделенной роли, которую
играет гиперплоскость Xi=... = xn. Более общий случай рассмотрен в
теореме 7.2. С другой стороны, пример свободного поля с массой т^О
свидетельствует о том, что убывания более быстрого, чем Am (Е), достичь
нельзя.
Доказательство. Предположим, что # = max|xi-хД.
<</'
Рассмотрим плоскости, проходящие через каждую точку х* и ортогональные
х&-х3-. Всегда существуют соседние плоскости на расстоянии ^R/(n-1),
разделяющие точечное множество {Х{} на два семейства Fi и. F2, такие,
48
что расстояние к их выпуклым оболочкам C(F\) и С(Ег) равняется, по
крайней мере, R/(n-1). Ввиду того что G(фг, <Pj) [см. формулу (4.6) ]
компактно для всех г</, можно выбрать такое L, что
[В,-(0, х^), Bj(0, Ху)] = 0 для | Ху - Xj | >L.
Пусть R^>(n-1 )L. Тогда, пользуясь свойством локальности усеченного
вакуумного среднего, можно привести Bi(Xi) к виду
<яв^)>г = <в;(*;),.... в'л(4)х
X Bi (jci), ..(хл_а)Х (4.30)
с {XiJeFj и {х/}еЕг. Усеченное вакуумное среднее
(4.30) по определению равно
<ПВ{ {Х()>т = <В[ (х[), . . ., Вк (4) X X?охв\{х\),..., (*"-*)>"-2'Ж---
>г, (4.31)
част
где суммирование 2' распространяется на все раз-
част
биения, которые не меньше Fi и Ег. С помощью итерации выражение (4.30)
можно написать в виде суммы произведений вакуумных средних, всегда
содержащих по крайней мере один член типа
<?/,(**,) • • •?fr(*ir)?o'5/i(*/,) • • (4-32)
где r-s?= 0. Выражение (4.32) может быть мажорировано, как и (4.9), при
?°=0 и [?]+Е не. меньше, чем расстояние между C(Fi) и C(Fs), которое
равно по крайней мере R/(n-1). Константы Cf содержат нормы ^!ч(Хь )* й и
T\Bjv. (х ) П, которые, как и другие вакуумные средние, будут, согласно
лемме 4.1 (см. ниже), иметь границы, не зависящие от xit..., хп. И
наконец, объемный коэффициент V(Gi) растет, как R3. Это и есть
доказательство теоремы 4.3.
Лемма 4.1. |<Bi(0, Xi),..., Bn(0, х">0| равномерно ограничено по Х\,...,
хп.
Доказательство. Выберем L таким, как и прежде. Очевидно, что С°°-функция,
зависящая от разности переменных, ограничена в области maxlxj-x3|^L.
i<!
Если R^>(n-1 )L, a Ej и Ег- разбиения множества {х*}
49
с C(Fi) и C(F2), разделенными расстоянием ^R/(n-1), то, согласно условию
локальности, получим
I <Si(0, *i), . . Вп{0, хп)>0 [ =
~ I CBiOi), • • •" Bk(х^)В\(х\), . . Bn-k(.%n-I
< 11пя;(*)*о||.||пя;(*;)о||. (4.зз>
Повторив эту процедуру несколько раз, получим постоянные границы с
коэффициентами вида
1
<(вР(0) вР (0)*Т>о2п.
Используя наряду с предположениями теорем 4.1-4.3 условие умеренного
роста полей, легко получить свойство асимптотической факторизации полей,
сглаженных основными функциями из of (Rin).
Для каждого р^1 и каждого п выберем пару С°°-функций ар(хь..., хп),
а2(хи..., хп), таких, что
<4(*i.......х")+а2е(х1 хп)= 1 в Rin,
supp aj С {шах [| X(r) | + | Xj [] < р,
supp aj{ С ( шах [| x°j | + | Xj |] > р - -Ц . (4.34)
I 1</<П i )
Производные всех порядков от а1Р, 4 должны быть рав-
номерно ограничены по р. Вводя вместо функций ф* в (4.3) функции
ф)р = <4 ф; 6 3>(RirU)), Ф?Р= 4% €&(RirU)) , (4.35)
получаем поля В\? и В%, такие, что В{=В1?+В%. Из
(4.25) следует, что
