Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
где %=Х\-Х2. Согласно условию локальности,
h (?) - (5) h21 (-I) = < [5X (X]3, B2 (x2)] ^>o -
= <51(0)f/(-|, 1)ЕоХ52(0)>0, (4.5)
обращается в нуль для ?eG', где
G = G(91? ф2)= {^ -№:^Gsupp?;, i=l, 2}. (4.6)
Благодаря трансляционной инвариантности преобразование Фурье Ъ{р) функции
/г(|) существует см. [(2.8)] без использования свойства умеренности роста
полей. По спектральному условию supp %е{(р, р) ^ т2}. Мы увидим, что
следствием этого является существование у Л(?) представления Лемана-
Поста-Дайсона (ЛЙД):
оо
h(l)=^dk Jdij {а*(? - ijJpiOj, k) +
т2 Gx
+ - >J)P2("2. ?)}. (4-7)
где трехмерная область Gj компактна. Функция h\2(?) является
положительно-частотной частью Л(?) и получится заменой Ah на Ait в (4.7).
Весовые функции рь р2 просто связаны с %(p)dp и p°7i(p)dp, которые
ограничены комплексными мерами (2.10). Экспоненциальное стремление к нулю
функции пц(%) на больших пространственноподобных расстояниях выводится,
наконец, из асимптотических формул
(r)-1 feW) е_*'11 '['+0 (итг)] '¦ (4-8)
43
A,h(i) = - i|°Fl + О (-L-) 1
дБ* 5 V32n" 1116/ L ^ U 11 l/J
ДЛЯ (I, IX О и [|] = [-(I, ?)]v' 00.
Теорема 4.1. При вышеупомянутых предположениях
I hi*a) \<c[|Г,/гe-m[|](1 + (4.9)
для |eCi' и [|]5?6>0. Здесь Ai2(?) определяется из
(4.4), а С-константа, не зависящая от ?, которую
можно выразить через определенные вакуумные средние, Gj-выпуклое
замыкание дополнения в {?°=0} множества G'lfld0-0}> где G определяется
выражением (4.6), а [|] -кратчайшее пространственноподобное расстояние
между I и Gj.
Доказательство. Согласно (2.10), выражение
? (р)dp = (2я)-*\<Вг(0)dE(р)Bt(0"" ~
-<52(0)dE(~p)fi1(0)>o} (4.10)
для любой ограниченной непрерывной функции % и удовлетворяет условию
! I X(P)(p°)1h{p)dp | < Gx sup 1 х (Р) I .
(p. p)>m*
С, = (2я)~2 (II (PySa(0)Q || || ВЛ0)*Й II + || (РУ X
XBi(0)Q||||fl,(0)*Q||}. (4.11)
Из ограниченности %(р) н свойств носителя следует, что функция
H(l, s) = (2я)~2 J dpe-,<р' 6) cossV<J7J)h(p) (4.12)
бесконечно непрерывно дифференцируема и удовлетворяет
-k-y-Ъ
дй0 J \ ail ) \ds
i=l
-НЬв^-Г1,*ЛЯ П=1?} (4.13)
as" /,s iDfA(l) для n = 0(2).
В частности, Я(|, 0)=й(|). Благодаря локальной коммутативности А(|) для
|eG' обращается в нуль. Из рнс. 1 видно, что На, s) н все ее производные
обращаем
ются в нуль вдоль времяподобного сегмента, определяемого для данного %
выражением
" = | §* | <min | 11 - § I , (4.14)
где G0 - дополнение множества G'n{?0=::0} в {|°=0} (оно компактно).
Для решения Н "-мерного волнового уравнения большое значение имеют две
теоремы о единственности [65]:
а) если Н вместе со своими нормальными производными обращается в нуль
на пространственноподобной
гладкой поверхности 2, то Н обращается в нуль тождественно в области
причинной зависимости 2" (принцип Гюйгенса);
б) если Н обращается в нуль в бесконечном порядке вдоль времяподобного
сегмента Т, то оно обращается в нуль (по теореме Асгейрссона) и в двойном
конусе, натянутом на сегмент Т.
Применив теорему б) к сегменту (4.14) и устремив §-*-оо, обнаружим, что
(^7 НS^|0=° = ° ДЛЯ ВС6Х ^ Gl' 1^
где Gi - выпуклое замыкание G0 и тоже компактно. #(?, s) можно выразить
через ее данные Коши на плоскости {(1, s) : |°=0)
45
H(l, s)= - Jdijd/ J-^|-A5(E - Tb s - f)H(n, 0|4-=o +
+ A6(I - Л" s - 0 |г)0=0 j, (4.16)
где, согласно принципу Гюйгенса, интегрирование по т) может быть
ограничено областью Gi и
А5(%, s) = - i(2л)~4 J dpdktTit(p' 5) "Ь] е(р°) X
Хб((р, р)-П (4.17)
Положим в (4.16) s = 0 и рассмотрим часть с р°>0. Тогда
- Т|)Я(Т), 0 |^0 + At а - Л) ^ Я(т1. О lv-о]. (4.18)
Рассмотрим теперь такие значения %, для которых кратчайшее
пространственноподобное расстояние [|] между i и Gj положительно. Тогда
мы можем воспользоваться равенством
А*+ (6 - Ч)---------* (2яр J dpe~,(p• ^ 0 (р°) 6 ((р, р) - &) =
= - i (2я)2 ккг (k V-il-ъ S-4))/K-(S-4. ?-4)
(4.19)
и /^i2 (g) принимает вид
МЮ = - (2л;)~21 d)jJrfp{xo(P. S> ч)Мр) -
- ifc(P. 5. Ч) Р°*(Р)}, (4-20)
где
-f-oo оо
Хо(р, I, ч) = л~1е'рт' f dt cos (f j/ (рГр)) f dk cos (kt)~^X
- CO 0
X Af (I - ч) = ехР(*РЧ)-^г (5 - 4).
Xi (P. I, 4) = Я_1 е'р,) +J dt cos O' /(P. P)) fdk cos (/e/) X - 00 0
X At (i = ij) - exp (ipjj) (6 - ч). (4.21)
46
Отметим, что при переходе от (4.18) к (4.20), и учитывая (4.12) и (4.19),
мы можем переставить переменные интегрирования по t и по р, так как
Ti(p)dp быстро убывает по р, и для (|, ?)<0
I = J cos (kt) Дt (g) dk- - i (8я)~1 [-(I, %) + ^Г>/г, (4.22) о
д /
поэтому /=0(|?|-3), -=0(|/|-5) для 111 ->-оо влечет
за собой равномерную сходимость интегралов по t и по р.
Применив (4.11) к (4.21), получим
I hn (I) I < (2л)-2 V (G2) [С" sup | Хо(р> I, ч) +
H-^sup | Xi(p, g, ч) II, (4.23)
где V(Gi)-объем множества Gj и верхняя грань берется по всем
(р, р)^т2 и Из (4.8) получим:
| g iv*eml5,| Af(") | <Л0< оо, (4.24)
д
< А< 00
равномерно для k^m и (g, g)<0 таких, что |g| = = [-С помощью этих
мажорирований получим окончательную формулу
| h12(%) | < (2я)-2 V (Gj) [g]-8/' e"mC51 [СИо + СгАг-Ц-] .
