Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
вакуумных средних как граничных значений лоренц-ковариантных
аналитических функций в комплексном пространстве Минковского. Здесь мы не
будем воспроизводить эти классические результаты - они великолепно
изложены в книгах Стритера и Вайтмана [2] и Иоста [3]. Однако мы
продемонстрируем технику применения функций Вайтмана, а также методы
функционального анализа, чтобы затем построить тео-
23
рию локальных колец Хаага-Араки [31, 32] из (непустого) класса теорий
поля Вайтмана.
Сначала напомним некоторые определения из теории линейных операторов в
гильбертовом пространстве (см. [8, 33]). Пусть А -линейный оператор в
пространстве § с областью А (А), плотной в 1).
Для всех 1) с (ф, АФ) = (ф*, Ф) для всех
ФеЛ(А) существует единственный линейный оператор А* с феД(А*) и
сопряженный А. Оператор А
называется самосопряженным, если А *=А. Если А симметричен, то
А*Ф = АФ для всех Ф?Л(А), (2-15)
однако в общем случае А(А*)гэД(А). Оператор А замкнут, если для всех
последовательностей ф"еА(А) с lim = 1), lim А фп = ф'е1) имеет
место
П-* оо
ф?Д(А) и Аф = (2.16)
Замыкание А оператора А существует, и А=А**, если А (А*) также плотно в
Я. А называется существенно самосопряженным, если А **~Л *.
Какова же ситуация для нейтрального скалярного поля А(х)? Для ф=фе<^
(R4)* А(ф) симметричен на D и Д(А(ф)*)гэЯ. Поэтому замыкание Л(ф)=Л(ф)**
существует. Если supp ф простраиственноподобен относительно supp ф, то на
D имеет место [А(ф), А(ф)]_= = 0.
Если бы мы могли доказать, что А(ф) существенно самосопряжены на D для
Ф=Ф^3)(R4), (3)(R4)) -подмножество [34] всех фесг(/?4) с виррф,
ограниченным в R4, и что они имеют коммутирующие спектральные
проекционные операторы Е(К, ф) и ?(ц, ф), где
+ 00
А(ф)= J ЫЕ(у, к) (2.17)
-оо
для всех supp ф и supp ф пространственноподобных, то спектральные
проекционные операторы {Е(К, ф):-оо< <СК<С + оо, фе5)(0)} генерировали бы
теорию локальных колец Хаага - Араки R(G) с
R(Gi)c:R(G2)', если Gi пространственноподобно 02. (2.18)
* Отметим, что ф - комплексно сопряженное ф, а А - замыкание А. - Прим.
ред.
24
(Для GcR4 причинное дополниение G' является множеством {у : (у-х, у-х) <0
для всех шб}. Его следует отличать от коммутанта [4] R(G') алгебры
Неймана R(G), т. е. набора ограниченных операторов В с [В, Л]=0 для всех
ЛеД(О).
При изучении неограниченных операторов в гильбертовом пространстве можно
натолкнуться на разные трудности. Нельсон [35] предложил пример двух
симметричных операторов А и В с общей плотной, инвариантной областью А.
Дальше, сумма аА + ЬВ является самосопряженной в А для всех
действительных а и Ь, и [А, В] =0 в_Д, однако спектральные проекционные
операторы А и В не коммутируют.
Борхерс и Циммерманн [36] показали, что эти трудности не могут возникнуть
в квантовой теории поля, если наложить ограничение на рост вакуумных
средних с увеличением числа аргументов. Приведем здесь соображения этих
авторов. Будем опираться на теорему Нельсона [35] об аналитических
векторах. Пусть А - линейный оператор в . Вектор Фе § считается
аналитическим по отношению к Л, если
2_!!^1^<о0 (2.19)
л=0
для некоторого s>0. Нельсон показал, что если симметричный оператор Л с А
(Л), плотным в К), имеет плотное подмножество А0(Л)с1А(Л) аналитических
векторов для Л, то А является существенно самосопряженным на А(Л).
Будем постулировать, что для любого действительного ф^3XR4) вакуум П
аналитичный вектор для Л (ф). Как можно показать, необходимым и
достаточным условием для этого является существование для любой функции
ф=фе,2)(Я4) константы я(ф)<оо, такой, чтобы выполнялось условие (<...>о
означает вакуумное среднее)
| < Л (ф)я>01 < я! а(ф)я- (2.20)
В случае свободного поля имеем (см. Упражнение 1) <Л (ф)та>0 = 0 для "^1
(2) и
<Л(ф)г">0<а(ф)"-^- (2.21)
я!
для остальных случаев.
25
Теорема 2.1. Если поле Вайтмана А{х) удовлетворяет условию (2.20), то
Д(ф) является существенно самосопряженным в D для всех ф = фе25(/?4).
Доказательство. Пусть Е=Биррф и 0#Ф - открытое множество в F' и D(G) -
множество всех Ф(ф) с
ОО
ф={фп}<^ 05)(ОЖ") [16]. Покажем, что D(G) анали-
п-О
тично для А (ф).
При доказательстве используем свойство локально-
оо
сти. Для ф, фе 0 2) (Gxn) введем обозначение
л=0
п
(ф<ЭФ)" = S Фт 0 Vm И (ф*)" (хъ . . ., Х") =
т=О
= Фя (хп> • • • " -*l)-
Тогда
|| А"(ф) Ф (ф) ||2 = (А (ф)2" Q, Ф (ф* 0 ф) <
<<А (ф)4п>о/! || Ф (ф* (r) ф) || < И4л)! а (ф)2п 1| Ф (ф* (r) ф) ||.
(2.22)
Поэтому степенной ряд
ОО
^(М)-1 IIЛ СфУ* Ф (Ч>) IIS* с
п-0
< || Ф (ф* 0 Ф) ||'/" V. ¦ а (ф)"в" (2.23)
я!
я=0
имеет радиус сходимости ^ (4 я(ф) )-1>0. Доказательство теоремы 2.1
следует из теоремы Нельсона, так как D(G) плотно в Я вследствие следующей
теоремы Ре и Шлидера [37]:
Теорема 2.2. Для любого GczR4 с непустым откры-
О
тым ядром G *D(G) плотно в t).
* G - подмножество внутренних точек G. Его обычно называют внутренностью
G. - Прим. ред.
26
Доказательство. Возьмем произвольный параметр ортогональный 3)(G). Тогда
