Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
1 * ¦ • • * п
неен на фь-.., фn^3(R*) и непрерывен относительно любого ф*(1^1^я) при
остальных фиксированных ф,. Поэтому, согласно теореме о ядре, формула
(2.1) определяет единственную обобщенную функцию умеренного роста
• • -.*")€<r(*4л),
* Здесь Z+ - множество положительных целых чисел. - Прим.
ред.
20
значение которой при основной функции
(ф,(r) Хп) = ф! (*i), ф п(хп) €&(№*)
совпадает с (2.1).
Упростим наши обозначения, ограничившись рассмотрением только
нейтрального скалярного поля А(х). Теорема о ядре позволяет определить
функционал [21, 23]
Ф:ф6<^(/?4й)-*-Ф(ф),
Ф (ф) = J db . . . dxnф (хг. . . х") A (xt) А (хп) Q (2.4)
как векторную обобщенную функцию умеренного роста на $' (Р4и;(|), так как
пространство <^(Р4)<8>Я, плотно на S (Rin), а функционал Ф(ф) определен
при ф=ф1<8>,..., <8>фта, ввиду того что пространство I) полно и квадрат
нормы является вакуумным средним. Обозначим 5[§ * -алгебру всех конечных
сумм операторов
IdxI ... dxnф(*ь..., х")Л(х,),..., А(хп)(Rin),ti(=Z+
и Z)=)J5Q. плотно в(), а также инвариантно и яв-
ляется естественной областью для изучения полей. Пусть D - область
Гординга [24] для представления U(а, Л). Она инвариантна относительно
произвольных полиномов от инфинитезимальных операторов Р'1 и Л4ро
представления U(a, А). Это следствие тождества
U (а, А) Ф (ф) = Ф (ф(а> А)), (2.5)
где отображение ф ->¦ ф(а А) с
Ф<" a) (*. • • - хп) = Ф(А"1 (Xi - а),.. ., Л-1 (хп - а))
(2.6)
принадлежит классу С°° на 3? (Rin) в любой локальной системе координат в
окрестности единичного элемента группы iSrL(2, С). Поэтому
последовательность (1т)-1 [i7(G(t))-1]Ф(ф) сходится в ^ для любой
однопараметрической подгруппы G(т) группы iSL(2, С) и предел также лежит
в области D. Например:
^Ф(ф) = f dpu . . dpn 2 ф(рь • • м Р") X
J г=1
ХЛ(- pt) A(-pn)Q. (2.7)
Ниже мы найдем важное применение оператора трансляций к матричным
элементам (Ф, U(a, 1) ?<Ь|>), где
21
ФфеД а ?о"- проекционный оператор на ортогональном дополнении Q.
Использовав теорему СНАГ и ?пект-ральное условие, получим
(Ф, U (а, 1) EU) = J е! (р'в) (Ф, dE (р) ф). (2.8)
v+
Ввиду лоренц-инвариантности меры
X-*- I Х(Р)(Ф. dE(p)\|>),
п
имеет место
jx(p)eMP,a) (ф, dE(p)ty) = [х(Р)(Ф. dE(p)U(a, 1)ф);
1X (Ар) (Ф, dE (р) ф) = J % (р) (U (А-1) Ф, dE (р) t/ (Л-1) ф).
(2.9)
Дифференцируя по параметрам группы iE+ , можно показать [25], что (Ф,
dE(p)Eoty) принадлежит классу С°° вдоль гиперболоидов {(р, р) = р,2} и
вместе со своими касательными производными убывает быстрее любой степени
HplM при ||р|[->-оо. В частности, для произвольного полинома Q(p), p^R4 и
любой ограниченной непрерывной функции х (р) имеем
I I X(Р)Q(Р)(Ф, ^(р)Ф)| = I I %(р)(Ф, dE(р)Q(Р)ф)| <
<5иРи(р)!||ФЦ||С(Р)Ф1|. (2.Ю)
v%
Квантовая теория поля полностью характеризуется своими вакуумными
средними. Вайтман показал [26], что последовательность {9JI'(Rin)
обобщенных функций умеренного роста, удовлетворяющих определенным
условиям (линейным: лоренц-инвариантность, локальность, эрмитовость,
спектральное условие; и нелинейным: положительная определенность,
единственность вакуума), с точностью до унитарной эквивалентности
определяет нейтральное скалярное поле А(х), удовлетворяющее аксиомам I-V
в сепарабельном гильбертовом пространстве, причем для этого поля
(Q, Д(дс0, . .., А(хя)Й) = 20М*1, . • *"). (2.11)
Доказательство можно найти в работах [2, 3]. Приводимое ниже упражнение
содержит интересный тривиальный пример локальной квантовой теории поля;
оно ока-
22
жетея полезным при рассмотрении релятивистской теории рассеяния.
Упражнение 1. Изучить представление Фока [27] для операторов рождения и
уничтожения свободных частиц с массами т>О
и спинами s=0, - в спинорном базисе [28, 29]:
Ир)а. а(Ч)|](_1)^+" = [*(ч)р , 6(p)^](_i)2*+i =
= 0МУ2^р2 + т2б(р_Ч)' (2Л2)
где -матрицы Паули и Ds =D^-S,0\ Остальные (-l)2s+1 коммутаторов должны
обращаться в нуль и а (р)д , Ь (р)^ должны
преобразоваться как тензорные операторы относительно группы iSL(2, С):
U (а, А) а (р)а U (а, Л)~1 = е~ 1 <А"> а)Щу(А~^) a (Ap)v;
U (а, А) Ь (р)& U (а, А)~1 = е~г e> ? ^ (Л~") Ь (Ap)j. (2.13)
Показать, что
Л0 (х)а = (2я)-'/* J dp Ъ ((р, р) - т*) 0 (р") [а (р)а е~ *> +
+ &*(p)ae,(p'*)] (2.14)
н что А0 (х)р удовлетворяют аксиомам Вайтмана, а также вычислить нх
вакуумные средние. Что происходит в формуле (2.12) при "неправильной
статистике" [30]? Показать, что А0 (<р) н А0 (ф) ограниченные операторы
для фермнонов н, вообще говоря, неограниченные- для бозонов.
Введение вакуумных средних заменяет рассмотрение векторных обобщенных
функций в гильбертовом пространстве изучением структуры
последовательности обобщенных функций умеренного роста. Результаты
квантовой теории поля, такие, как связь между спином и статистикой,
эквивалентность между слабой локальностью и ТСР-инвариантностыо,
глобальная природа локальной коммутативности, классы эквивалентности
локальных полей и теорема Хаага, были получены при использовании
