Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хепп К. -> "Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля" -> 8

Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.

Хепп К., Энштейн А. Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля — М.: Атомиздат , 1971. — 241 c.
Скачать (прямая ссылка): analitsvoystvaamplitud1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 66 >> Следующая

для всех n<^Z+ и ф)ге=.2)(Ож")
(X, ФМ>")) =
= Sdxl... dxnMpn(x i, . . хп) (х, А {хг) A (x")Q) = 0.
(2.24)
Обобщенная функция умеренного роста (х, /4(xi),..., Л(х")?2) не имеет
носитель в Gxn. По спектральному условию фурье-образ этой обобщенной
функции имеет носитель в
s p,ev-
1=1
для Поэтому [2] (х, А(х\),..., A(xn)Q- гра-
ничное условие аналитической функции по переменной Х\, х2-хп..., x"-x"-i
в трубе ImxieF-b..1т(*г - -Xi-i) g1/+(2</^i), которая обращается в нуль в
открытом множестве вещественных граничных точек (как обобщенная функция)
и, следовательно, равна нулю тождественно [2]. Таким образом,
(X, Ф(ф)) = 0 для всех Ф(ф)?П, (2.25)
а ввиду равенства D = f) получим х=0 и D(G) = 1) Н. Приведенные аргументы
показывают также, что для
О
вфФ имеет место следующая теорема.
Теорема 2.3. Сужение Л(ф)с поля Л(ф) на D(G) удовлетворяет равенству
Л(Ф)0=Л(ф).
Доказательство. Если даны два линейных оператора Л и В в t) с областями
определения А(Л) и Д(В), то А называется расширением В, ЛгэВ, если
А(/4)гэД(В), и Лф = ВФ для всех Ф^А(В). Очевидно, что из /4(ф)гэ =эЛ(ф)0
следует А (ф)дэ.4 (ф)с.
Нам надо показать, что ,4(ф)*дэ (Л(ф)е)*, так как отсюда следует
Л(ф)=Л(ф) **с=Л(ф)о, что и требуется доказать.
Пусть ФеД((Л (ф)о) *) и Ф(ф)еО(0). Тогда по определению
((А (9)g)* Ф, Ф (ф)) = (Ф, А (Ф) Ф (ф)) (2.26)
27
или же в виде тождества для обобщенных функций при (хь..хп) eG*n и neZ+
имеет место
(И (ф)0)* ф> А • • ¦.А (хп)й) =
= (Ф, А (Ф) А (дсж). • • А (х") Q)- (2.27)
Аналитическим продолжением можно обобщить тождество (2.27) для всех
(хц..хп) е/?4п, следовательно, для любого ф&О
(И(ф)0)*Ф, Ф) = (Ф, А(ф)Ф). (2.28)
Поэтому Фе?>(А(ф)*) и (А(ф)е) *Ф=А(ф) *Ф, что тождественно выражению А(ф)
*гэ(А(ф)с) *•
Неожидан тот факт, что условие Борхерса-Циммер-манна на рост исключает
патологии, найденные Нельсоном. __ __
Теорема 2.4. Пусть ф=ф, ф = фе5)(Я4) имеют носители,
пространственноподобные друг другу. Рассмотрим выражения:
+00 +00
А (ф) - J dkdE (ф, к) и А (ф) = J d\idE (ф, р)
-00 -00
при предположениях, упомянутых выше. Тогда для всех к и р
[Е (Ф, к), Е (ф, р)]_ = 0.________ (2.29)
Доказательство. Так как А(ф) и А(ф) самосопряженные операторы, то
резольвенты
/?(Ф, Я) = (А(ф) -A,)-1, R(ф, р) = (А(ф) - p)-i (2.30)
существуют, и они ограничены для Im k, Im р=/=0. Чтобы проверить (2.29),
достаточно доказать [8], что [Я(ф, к), R(ф, р)]-=0 для всех
ImA, Imp=/=0. (2.31)
Из условия локальности имеем для всех Фе?>
(А (Ф) - Ц) (А (Ф) - к) Ф = (А (Ф) - к) (А (ф) - р) Ф, (2.32)
что и является доказательством (2.31) на ?2=(А(ф) - -А,)(А(ф)-р)D. Ввиду
того что резольвенты ограничены, остается лишь показать, что Q плотно в
(). Пусть йфф - открытое множество, пространственноподобное относительно
supp ф и supp ф. Тогда достаточно показать, что
D" = {А (ф) - к) (А (ф) - р) D (G) С Q (2.33)
28
плотно 8 1). Л(ф)-самосопряженный и равняется Л(ф)ц, соглсно теореме 2.3.
Поэтому D'= (Лф)-ц) X Xj0(G) плотно в J) для всех 1ш цфО.
Рассмотрим D"=(A(q>) - K)D'. Каждый вектор в D' аналитичен относительно
Л(ф) по теореме 2.1, так как G и supp ф пространственноподобны
относительно supp<p. Таким образом, сужение Л(ф)с- оператора Л(ф) на D'
имеет плотное множество аналитических векторов и симметрично. Согласно
теореме Нельсона, А (ф)d самосопряжено и поэтому (А (ф)о'-K)D'-(A( ф)-
K)D' = D" плотно в 1). Это и есть доказательство теоремы 2.4.
Построение Борхерса и Циммерманна весьма остроумно с точки зрения ее
непосредственной связи с аксиомами Вайтмана. Однако условие на рост
(2.20) очень ограниченно. Подробно изучен случай свободного поля для
класса Борхерса.
Пусть А (х) - нейтральное скалярное поле Вайтмана, обладающее циклическим
вакуумом по отношению к S3 (Л), а В(х) и С(х) -операторные обобщенные
функции умеренного роста, определяемые на D- 23 (Л)О с B(<p)DaD,
С(ф)Ьсг1). Предположим, что В(х) и С(х) преобразуются ковариантно по
представлению группы iSL(2, С), принадлежащему А(х), и что [Л(х),
B(y)].D= [А (х), С(г/)]_?) = 0 для (х-у, х-у)< 0. Тогда, как показал
Борхерс [38],
[ОД, ОД]_ = [ОД, С(г/)]_ = [ОД, С(г/)]_ = 0 (2.34)
на D для (х-у, х-у) <0, т. е. В и С локальны и относительно локальны.
Такие (неприводимые) поля относятся к классам эквивалентности.
Класс Борхерса для свободного поля был определен Эпштейном [39] и Шрёром
(не опубликовано). Элемент В(х) в классе эквивалентности свободного
нейтрального скалярного поля А0(х) имеет вид
L
В(х) = Уед, Ct{x) = lim : Pl(-j~) А.^), • • Л"&),
ЯР KdlJ (2.35)
где Рг - действительный, симметричный, лоренц-
д д
инвариантный полином по , . . .,---------.
dgj d%i
Условию на рост (2.20) не удовлетворяет уже даже А0в:(х). Тем не менее
Джаффе и Лангергольц и Шрёр
29
построили локальные кольца для любого В(х) в (2.35). Пусть О является
пространственно-временной областью, для которой алгебра Неймана /?(Л0; О)
* поля А0(х) удовлетворяет условиям теоремы о дуальности [31, 40], т. е.
имеем "ромб" 0=0" с гладкой границей [41]. Пусть фejZ)(0) и В ((f)-
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed