Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
замыкание сужения оператора В ((f) на ?Р(Ло)П. Джаффе [42] показал, что
матрицы Стоуна [43] поля В((f) лежат в R(A0; О). Поэтому эти ограниченные
операторы генерируют локальное подколь-цо алгебры R(A0; О).
Рассмотрим множество S(B; О) всех ограниченных операторов Р, таких, что
(ф, РВ(ф)Ф) = (В(ф*)ф, РФ) для всех ф, Фе 5$ (Л0)й и фе 2) (0), и
определим R(B; О) как алгебру Неймана S(B; О)'. Лангергольц и Шрёр [44]
показали, что тогда R(B; O)czR(A0; О). Более того, для полинома Вика
В(х)^^Сп:Ап0:(х). (2.36)
R(B; О) равняется либо Р(Л0; О), либо Р(:Л20:; О) (отметим, что для Л0 и
: Л20: выполняется условие (2.20) и теорема 2.4 применима), где вторая
возможность имеет место везде, где одночастичное подпространство
ортогонально 5Р (B)Q.
В этих исследованиях условие (2.20) играло существенную роль, по крайней
мере, для одного члена класса Борхерса. С точки зрения применения теоремы
эквивалентности Борхерса к 5-матрице (см. гл. 5) представляет интерес
изучение следующего вопроса: удовлетворяет ли хотя бы одно локальное
неприводимое поле в каждом классе эквивалентности условию Борхерса -
Циммерманна?
ГЛАВА 3. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Наше мышление в сильной степени находится под влиянием нерелятивистской
квантовой механики. Поэтому не удивительно, что успехи в теории
нерелятивистского многоканального рассеяния стимулировали изучение
асимптотики в релятивистской квантовой теории поля.
* Определение алгебры Неймана см. в работе [4]. - Прим. ред.
30
Формулировка зависящей от времени теории столкновений счетного числа
связанных состояний без введения канальных гамильтонианов и канальных
операторов Мёллера принадлежит Эпштейну [45] и Хаагу [46]; ее можно
непосредственно обобщить в квантовой теории поля. Полезно
проиллюстрировать теоретико-полевое мажорирование, являющееся пожалуй,
технической процедурой в этой "освоенной модели" низкоэнергетических
ядерных реакций. Во-первых, теоретико-полевая формулировка Хаага-Рюэля
дает здесь некоторые преимущества. Во-вторых, рассмотрение
нерелятивистской задачи вскрывает ряд недостатков релятивистской теории
рассеяния, которые, по-видимому, нельзя устранить в чистой аксиоматике,
без динамики. Речь идет о построении одночастичных состояний и
доказательстве полноты состояний столкновений. Наконец, некоторые
трудности нерелятивистского случая переносятся в теорию поля посредством
нетривиальных предположений (локальность!), которые опять демонстрируют
ограниченный характер аксиом Вайтмана.
Увидев сложность многоканального рассеяния нет причин удивляться тому,
что так мало результатов, строго обоснованных, даже в нерелятивистской
квантовой механике. Можно надеяться, что какие-то новые методы дадут
толчок для дальнейшего развития квантовой теории поля.
Рассмотрим модель тождественных бозонов, взаимодействующих посредством
двухчастичного потенциала У(|х|). Фермионные и более сложные
взаимодействия можно ввести в рассмотрение при помощи некоторых
(алгебраических) обобщений.
Если вещественный сферически симметричный потенциал V(х) удовлетворяет
неравенствам
JdxV(x)2<oо, | V (х) j < с | х |-v для j х | >R (3.1)
\ x\<R
и для некоторых Я^оо, с<оо, уЖ то, согласно результатам Като [47], на
L2(R3N) оператор умножения Vn с (Улгф) (хь..х") = 2 V (Xi-Xj) ф (хь..х")
удовлетворяет условию
A <VN) D А (Н%), H°N = - (2m)-1 2 Д" (3.2)
31
и HN=H°N-VN самосопряженный с A(HN) -A(H°N). В терминах координат Якоби
движение центра масс разделено, и HN принимает вид
Прежде чем перейти к рассмотрению эксперимента по столкновению, нам
следует определить в теории все частицы. Существует максимальная
ортонормированная система симметричных Я-частичных связанных состояний
{г|)а,сrL2^/?3^-1)) для каждого Н'ы, N^2 с
и (для одинакового числа связанных частиц N (а) =
Благодаря свойству ротационной инвариантности потенциала V( |х|)
множества расщепляются на
неприводимые представления трехмерной собственной группы вращений 0+ (3)
с целочисленными спинами /eZ+.
Свободно движущееся связанное состояние типа а описывается в пространстве
L2(R3N(a)) соответствующей <") (2/(ос)+ 1)-компонентной волновой функцией
f= = {/s (р)}, принадлежащей, например, of(R3).
П
бдг г= N 1 2 Xj. in = 2 Xi ~X"+1 (1 <n<N)
1=1 (=1
N-1
HN = H'N-{2mN)-4SZn, Я; = -
+ 2 у {nij).
<</
2 (2цп)~' Д| +
n-l
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Имеем
exp(- i HJ) 2 фв1 s (r) fs (qi, . . ., qw) = (3.7)
S
exp ~[{ый + Е)* ]? 5 (qi' • ' (4jv)'
32
где q"= S Р/, q" = (n+l) 2 P;(1 < л <
f=l t- 1 ft -J- I
<N)-переменные, сопряженные §i,..., gjv. В частности, для свободной
"элементарной" частицы гамильтониан #i действует следующим образом:
[exp (- i Н^Щ (q) = exp (- i ^ / (q)- (3.8)
Рассеяние конечного неограниченного числа (элементарных или составных)
частиц удобно описывать в картине Гейзенберга пространства Фока. Здесь
лучше всего сказывается аналогия с квантовой теорией поля; свойства
симметрии волновых функций реализуются автоматически н вероятности
