Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
быстро убывающих обобщенных функций [14].
При перенормировке [18] диаграмм Фейнмана ПдГ (хг-*s) сначала
используется регуляризация Пау-
е
ли-Виллара, для того чтобы произведение обобщенных функций было полностью
определено. Затем строятся контрчлены, допустимые модификациями
лагранжиана, так что разность имеет предел вЗ*', когда регу-ляризующая
масса стремится к бесконечности [19]. В этих рамках сформулируем
следующие постулаты, касающиеся аналитической структуры квантовой теории
поля.
Аксиома II. Для каждой основной функции qpe &?№) существует конечное и
счетное семейство операторов А" (ф) и А**(ф). Они определены в общей
плотной области Dczl), которая инвариантна
U (a, A) D<ZD, А,* (ф) D<ZD, АГ (ф) D<ZD (1.22) и содержит й. Для всех Ф,
ф&й отображение
Ф -* (Ф, А* (ф) ф) = (АГ (ф) Ф, ф) (1.23)
является обобщенной функцией умеренного роста в
<ТО4).
Пример свободного бозонного поля показывает, что полевые операторы,
вообще говоря, неограничены в 1). В силу аксиомы II * -алгебра $8о*,
порождаемая всеми
* Алгеброй на поле комплексных чисел, или комплексной алгеброй,
называется всякое множество В элементов а, Ь,..на котором определены
следующие операции:
1. Сложение (коммутативное), сопоставляющее каждой паре элементов (а, Ь)
элемент а+b (сумма);
2. Умножение (не обязательно коммутативное), сопоставляющее каждой паре
элементов (а, Ь) элемент ab (произведение);
3. Умножение на скаляр Я, сопоставляющее каждому элементу а и
комплексному числу Я элемент Ха, причем имеют место обычные законы
ассоциативности н дистрибутивности.
*-Алгеброй или алгеброй с инволюцией называется всякая алгебра
(комплексная или вещественная), в которой существует операция сопряжения
х-*-х+, удовлетворяющая условиям:
(х+)+ = (X), (х + у)+ = х+ + у+,
(ху)+ = у+х+, (Ах)+ = йс+,
где Я -комплексно сопряженное Я. - Прим. ред.
18
л*(ф). л**(ф), Фе У (R*), полностью определена на D и Da Мы не будем
постулировать существенную самосопряженность * наблюдаемых полей на D
(см. гл. 2), так как асимптотические наблюдаемые уже определены
однозначно полем на D.
Лоренц-ковариантность выражается тождеством для обобщенных функций,
которое имеет место на D.
Аксиома III.
U (a, A)Ai(x)U(a,\)~l = (Л~'М{ЦАх + а), (1.24)
Р
rfleA-"-Sft(A)-некоторое конечномерное представление группы SL(2, С),
которое можно считать неприводимым и имеющим вид Z)[r-s].
Рассматривая фермионы с полуцелым r+s, мы тем самым допускаем
ненаблюдаемые поля. Согласно принципам квантовой механики, наблюдаемые
поля, проинтегрированные по основным функциям с пространственно-подобным
носителем, должны коммутировать друг с другом. Это исключает возможность
интерференций локальных измерений в областях, которые не могут быть
связаны световыми сигналами. Новые исследования Бор-херса [20] частично
исключают "аномальную статистику" для ненаблюдаемых полей. Локальность мы
постулируем следующим образом.
Аксиома IV. Для всех ф, ф'e<F(/?!) с носителями, пространственно-
подобными относительно друг друга,
[А* (ф), & (ф')]± D = 0, [ЛГ (ф), AS (ф')]± Л *= 0. (1-25) Знак ± при
коммутаторе определяется теоремой о связи между спином и статистикой (см.
работы [2, 3]): с точностью до унитарной эквивалентности всегда можно
предполагать антикоммутаторы для ферми-полей и коммутаторы для бозе-
полей.
Наконец, нужно предположить полноту для полевого описания теории. Можно
было бы постулировать, что $Ро - неприводимая операторная алгебра в J),
т. е. что В - pi при условии, что ограниченный оператор В удовлетворяет
условию
(Ф, Д4ф) = (А*Ф, Вф) для всех Ае $Р". Использовав аксиомы I-III, Рюэль
показал [21], что это следует из более удобного предположения.
* См. определение в гл. 2. - Прим. ред.
19
Аксиома V. Вакуум Q дикличен по отношению к SJSo. т. е. Z>o=SPoQ плотно в
fj.
Вот и все, что касается "конституции" общей кван-товой теории поля.
ГЛАВА 2. ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И ЛОКАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА
Привлекательным и весьма важным достоинством квантовой теории поля
является тот факт, что содержание аксиом Вайтмана может быть полностью
выражено через свойства вакуумных средних произведений полевых операторов
ак1';:::;ая(фь-.<р") = (". <м,.... ^wq). ад
п п
Полезно ввести понятие векторной обобщенной функции умеренного роста-
[15, 22]. Предположим, что Е- линейное пространство с топологией,
определенной множеством полунорм {ра}. Пусть для любого neZ+*
S'(R"; Е) =>?(&(&); Е) (2.2)
является пространством непрерывных линейных отображений З7 (Rn) на Е, т.
е. обобщенных функций умеренного роста со значениями из Е. Топология на
3'(Rn; Е) определяется следующим образом: пусть Bc=F(i?n) ограниченно и
ра - полунорма на Е, тогда
qa, В (Г) - sup ра (Т (<р)) (2.3)
ч>ев
одна из полунорм для топологии на 3' (Rn\ Е). Из полноты Е следует это же
свойство для 3' (Rn\ Е), Важное место занимает "теорема о ядре" Шварца
[15]. Для любого m, n^Z+X (3(Rm), 3 (Rn)) и3'(Rm+n) топологически
изоморфны.
Например, функционал 9Л*' *я (фь..., фп) полили-
