Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Для групп более высокого порядка такой процесс перечисления всех элементов группы был бы чрезвычайно затруднительным. Поэтому групповую операцию удобно задавать в виде групповой таблицы. Обозначим все строки и столбцы квадратной таблицы так же, как и элементы группы. В этой таблице мы запишем на пересечении /1-й строки и т-то столбца произведение элемента, символом которого помечена я-я строка, и элемента, символом которого помечен т-й столбец:
Ь
24
Глава 1. Элементы теории групп
Вот как, например, выглядит таблица для группы порядка 2:
е а 1 е а
е II 1] %> или кратко е е а
а & 1І & а а е
Для группы порядка 3 имеем
е а Ъ (= а2)
е е а b
а а b е
b b е а
Обычно мы будем опускать первую строку и первый столбец, так как они только повторяют обозначения строк и столбцов. Заметим, что групповая таблица в наших примерах симметрична относительно главной диагонали. Так будет в том и только в том случае, если группа абелева. Кроме того, мы видим, что в каждом столбце (и в каждой строке) все элементы группы встречаются один и только один раз. Эго объясняется тем, что если все элементы группы умножить слева (или справа) на некоторый фиксированный элемент а, то все получающиеся при этом произведения должны быть различными: если ab = ас, то Ь = с.
Для абстрактных групп порядка 4 существуют две различные структуры:
А)
е а b с
а Ь с е
b с е а
с е а b
а2 = b, ab = с = а3, а* — Ь2 = е.
т. е. мы имеем циклическую группу а, а2, а3,
¦ е\
Б)
е. а b с
а е с b
b с е а
с b а е
а2 = Ь2 — с2 = е, ab = с, ас = Ь,
Ьс — а.
§ 2. Группы. Определения и Примеры
25
Эту группу называют четверной группой Клейна и часто обозначают символом V.
Из симметрии таблиц видно, что обе группы абелевы.
Задачи. 1. Покажите, что А) и Б) образуют единственные возможные
структуры для группы порядка 4.
2. Покажите непосредственными выкладками, что всякая группа порядка 4 должна быть абелевой.
3. Приведите пример реализации каждой из групп порядка 4.
Рассмотрим еще несколько примеров групп.
Примеры
1. Элементы группы —целые числа
. . ., —3, —2, —1, 0, 1,2.......
Групповая операция—обычное сложение. Сумма любых двух целых чисел есть снова целое число, 0 играет роль единичного элемента, а элементом, обратным п, служит элемент — п. Это группа бесконечного порядка. Единичный элемент 0 имеет порядок, равный единице; все остальные элементы — бесконечного порядка.
2. Элементы группы — рациональные числа. Групповая операция — сложение.
3. Элементы группы—комплексные числа. Групповая операция — сложение.
Заметим, что неотрицательные целые числа не образуют группы относительно сложения. „Произведения" содержатся в этом множестве, множеству принадлежит и единичный элемент (0), но обратные элементы множеству не принадлежат.
4. Элементы группы—четные числа. Групповая операция — сложение. Это группа бесконечного порядка. Заметим, что группа 1 изоморфна группе 4. Каждому элементу п группы 1 можно поставить в соответствие элемент 2/г группы 4. Этот пример показывает, что одна группа может быть изоморфна другой группе, составляющей лишь часть первой (разумеется, для групп конечного порядка такого положения быть не может).
5. Элементы группы — степени числа 2. Групповая операция — обычное умножение, т. е.
.... 2~2, 2-1, 2°, 21, 22....
Если элемент п группы 1 сопоставить элементу 2" группы 5, то станет видно, что эти две группы изоморфны.
6. Элементы группы—все рациональные числа, за исключением нуля. Групповая операция—умножение.
26
Глава 1. Элементы теории групп
7. Элементы группы—все вещественные числа, за исключением нуля. Групповая операция—умножение.
8. Элементы группы—все комплексные числа, за исключением нуля. Групповая операция—умножение.
9. Элементы группы—корни /1-й степени из единицы. Групповая операция—умножение. Эти корни равны
Это—циклическая группа, все ее элементы совпадают со степенями числа е2я,'/п. Очевидно, что существует только одна структура циклической группы порядка п, т. е. все циклические группы порядка п изоморфны друг другу, ибо если элементы двух циклических групп одного порядка являются степенями элементов а и b соответственно, то изоморфизм можно задать, сопоставляя элементы
Этот пример показывает также, что существуют группы любого конечного порядка п. Кроме того, если имеется циклическая группа бесконечного порядка, т. е. Группа с элементами
то она изоморфна группе 1. Отсюда следует, что существует только одна структура для циклической группы счетного порядка.
10. Элементы группы —перестановки степени п
Эту группу, называемую симметрической группой степени п, мы обозначим символом Sn. Легко найти число элементов в группе Sn: вместо 1 можно подставить любой из символов от 1 до п; после того как это сделано, вместо 2 можно подставить любой из оставшихся п — 1 символов и т. д. Таким образом, порядок симметрической группы Sn равен п!.
Рассмотрим перестановку степени 8
Выбрав сначала символ 1, мы видим, что эта перестановка переводит 1 в 2. Затем мы отыскиваем число 2 в верхней строке и видим, что рассматриваемая перестановка переводит 2 в 3, а 3—в 1, замыкая цикл, который мы запишем в виде (123). Выберем теперь в верхней строке какой-нибудь другой символ, например 8. Наша перестановка переводит 8 в 8, образуя цикл (8). Продолжая этот
