Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Для конечной группы (или любой группы, все элементы которой имеют конечный порядок) необходимо, чтобы выполнялось только требование 1. В этом случае' для каждого элемента а из найдется некоторая степень а (также принадлежащая &в), например ап~1, такая, что аап_1 = ап = е, в результате чего требование 2 становится следствием требования 1.
В общем случае для бесконечных групп необходимо выполнение обоих требований. Например, целые положительные числа относительно сложения удовлетворяют первому, но не удовлетворяют второму требованию и поэтому не образуют подгруппы всех целых чисел по сложению.
Знакопеременная группа Лп является подгруппой симметрической группы Sn, действующей на те же символы (сПри /1 = 3 группа S3 состоит из ‘элементов е\ (123), (132); (12), (13), (23), а группа <Аг содержит элементы е\ (123), (132).
Если е%? — подгруппа группы G и К — подгруппа группы , то К — подгруппа группы G. Это отношение транзитивности наводит на мысль о последовательностях подгрупп, каждая из которых содержит все подгруппы, предшествующие ей в этой последовательности. Например, в качестве G можно взять группу всех целых чисел относительно сложения, в качестве —группу всех четных чисел относительно сложения, в качестве К — группу всех чисел, кратных числу 22=4, относительно сложения, затем группу всех чисел, кратных 23, и т. д.:
G: ... —2, —1, 0, 1, 2....
&€'. ••• —4, -2, 0, 2, 4, . . .,
К: ... -8, -4, 0, 4, 8, ...
и т. д,
зо
Глава 1. Элементы теории групп
Каждая группа содержит все последующие подгруппы, перечисленные ниже ее, т, е,
G з Ж ¦=> К з ... ;
кроме того, в рассматриваемом случае все эти группы изоморфны:
О» ....
Таким образом, группа может быть изоморфной одной из своих
собственных подгрупп, но для групп конечного порядка это не-
возможно.
В рассмотренном выше случае группы S3
S3 з JL3 з e,
где e есть группа, состоящая из одного единичного элемента. Для всех групп конечного порядка последовательности, подобные той, которая приведена в этом частном примере, начинаются с группы G и завершаются группой, содержащей лишь элемент е. Другие последовательности в группе S3 имели бы вид
S3 ¦=> з е,
S3 з &6ъ з е,
S3 з &в3 із е,
где подгруппа содержит два элемента: е и (23), подгруппа содержит е и (13) и подгруппа е%?3 содержит е и (12).
Группа G' может быть изоморфной одной или более подгруппам другой группы G. Например, группа S2 — группа перестановок двух символов — изоморфна подгруппам е%?1( Шч, и 'ffi3 группы 53. Отсюда, очевидно, вытекает, что
В общем случае группа Sn_-l изоморфна п подгруппам группы Sn, которые получаются, если фиксировать по очереди символы
1, 2......п. Мы можем заметить, что элементы группы G, которые
принадлежат одновременно двум подгруппам F^ и F2 группы G, образуют множество D (пересечение подгрупп Fx и F2), которое является подгруппой группы G, ибо если а и b принадлежат D, то а и b также принадлежат Fx и F2. Поэтому элементы аЪ и а-1 принадлежат Fx и F2 и, следовательно, принадлежат множеству D, так что D удовлетворяет тем требованиям, которые мы предъявляем к подгруппе. Поскольку каждая подгруппа группы G содержит единицу е, пересечение любого числа подгрупп (т. е. совокупность элементов, принадлежащих всем рассматриваемым подгруппам) обра> зует подгруппу, которая содержит по крайней мере единицу.
§ 3. Подгруппы. Теорема Кэли
31
Симметрические группы Sn особенно важны, потому что на самом деле ими исчерпываются все возможные структуры конечных групп. Это доказывается теоремой Кэли.
Теорема. Всякая группа G порядка п изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы Sn.
Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, мы хотим указать на некоторые следствия из нее. Из теоремы Кэли вытекает, что число возможных неизоморфных групп порядка п конечно, ибо эти группы изоморфны подгруппам группы Sn. Поскольку Sn — конечная группа, она имеет лишь конечное число подгрупп, чем и доказывается наше утверждение. Это важный результат, поскольку он по крайней мере ограничивает задачу нахождения независимых структур группы порядка п. Переходим к теореме Кэли. Пусть аь аъ ап — элементы группы О. Возьмем любой элемент Ь; произведения его и каждого из элементов группы G
имеют вид Ьа-[, Ьа2......Ьап, причем все эти произведения различны,
так как bal = baj означает, что al = aj. Таким образом, эти произведения Ьа1 задают элементы группы G в некотором новом порядке. Поставим в соответствие каждому элементу b перестановку ль,
п предметов а1( ..., ап. Другому элементу с группы О сопоставим перестановку лс:
По тому же правилу элементу cb ставится в соответствие перестановка
Для доказательства изоморфизма требуется показать, что псЬ есть произведение перестановок пс и яь.
Как мы уже видели, при описании перестановки существенно только соответствие между предметом и его образом. Порядок же, в котором мы записываем символы, подлежащие перестановке, несуществен. Поэтому лс можно также записать и в виде
32
Глава I. Элементы теории групп
Взяв произведение образов элементов с к b
