Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
и (х) = си (— х) — с2и (л:), с = ± 1.
(3)
Я (г) YT (0, Ф)
V(r) = j,
Введение
11
осциллятора. Например, решения могут совпадать при специальном выборе констант в гамильтониане. В таких случаях мы говорим
о «случайном» вырождении. Под этим понимают, что вырождение не является следствием свойств симметрии гамильтониана, а связано со специальным выбором гамильтониана; такое вырождение можно снять, не изменяя свойств симметрии гамильтониана.
Другим примером служит движение электрона в поле с периодическим потенциалом (внутри металла). Периодичность потенциала позволяет нам сделать заключения о собственных функциях, совпадающие с содержанием теоремы Блоха. Классификация уровней энергии электрона в кристалле будет отличаться от классификации их в свободном атоме из-за отсутствия сферической симметрии.
Для нахождения собственных колебаний молекулы приходится решать секулярное уравнение. За исключением простейших молекул, решение этого уравнения представляет собой весьма трудную задачу. Свойства же симметрии молекулы можно использовать для того, чтобы свести секулярное уравнение к уравнению, решить которое более просто. Точно так же свойства симметрии молекулы дают возможность произвести классификацию ее уровней энергии и вывести правила отбора для различных процессов.
Для системы тождественных частиц гамильтониан инвариантен относительно любой их перестановки. В задачах атомной физики это обстоятельство приводит к классификации уровней энергии по спину. В задачах ядерной физики, если протон и нейтрон рассматривать как различные зарядовые состояния одной и той же частицы (нуклона), мы получаем дополнительную классификацию уровней энергии по «зарядовому» квантовому числу.
Наконец, поведение волновых функций при вращениях можно использовать при рассмотрении задач о сложении моментов количества движения и об угловой корреляции между частицами, испускаемыми в последовательных процессах. Мы кратко упомянули некоторые возможные приложения соображений симметрии и теории групп. Позднее мы рассмотрим их подробно.
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 1. Соответствия и преобразования
Мы все знакомы с понятием соответствия, или отображения. Имеется множество объектов, которые мы назовем точками. Число их может быть конечным. В этом случае их можно перечислить и называть, например, так: „точки а, Ь, с“—для множества из трех
объектов — или же: „точки ри ..., рп“ (либо точки 1, 2.......п) —
для множества из п объектов. Они могут образовывать счетное множество (например, точки, помеченные целыми числами 1, 2 и т. д.) или же составлять континуум (все точки плоскости XY). Под отображением множества точек на себя мы подразумеваем, что нам задан рецепт, согласно которому мы каждой точке р этого множества ставим в соответствие ее образ — некоторую точку р' из того же множества. Мы говорим, что р' есть образ р при отображении М. Символически это записывается в виде
Можно сказать, что формулы (1.1) эквивалентны следующему утверждению: „Оператор Ж, действуя на объект р, переводит его
в объект р'“. Для конечного множества точек отображение можно описать путем перечисления всех точек и их образов; например, для множества из трех точек а, Ь, с мы говорим: отображение М переводит точку а в ее образ Ь, точку b — в ее образ а и точку с — в ее образ с. Все это можно записать с помощью символов:
Другим возможным отображением М' могло бы быть отображение
р-*-р', или р' = Мр.
(1.1)
(1.3)
Для бесконечного множества точек описать отображение путем перечисления невозможно. Вместо этого мы задаем функциональный
14
Глава 1. Элементы Теории групп
закон (или рецепт) для отображения М. Например, можно рассматривать множество точек на оси X и отображение М, задав для него закон:
т. е. каждую точку, чтобы получить ее образ, следует сдвинуть на две единицы вправо.
Если Мр = М'р для всех точек р, то два отображения М и М' некоторого множества точек совпадают. Обратно, если М = М', то Мр = М'р для всех точек р. Одним частным, причем важным видом отображения является тождественное отображение /, которое каждую точку множества переводит в себя: /р = р. Отображения можно выполнять последовательно: еслиуИ переводит р в р' (р' = Мр) и М' переводит р' в р" (р" = М'р'), т. е.
Иначе говоря, существует одно-единственное отображение (его мы обозначаем М'М), которое приводит к тому же результату, что и последовательное выполнение отображений М и М'. Если при выполнении последовательности отображений М1г М2 и т. д. мы введем соответствия
р'" — М3 (М2р') = М3 (М2 (Мхр)) = М3М2 (Мхр) = МзМ^р,
т. е. отображения удовлетворяют ассоциативному закону.
В нашем примере с тремя точками [формулы (1.2) и (1.3)] отображение М'М означает
Если бы мы выполняли отображения в обратном порядке, мы получили бы отображение ММ':
так что ММ' Ф М'М. Таким образом, композиция, или произведение, отображений приводит к результату, который, вообще говоря,
р" = М'р' = М' (Мр), то мы запишем такое отображение в виде
р" = М'Мр.
(1.4а)
(1.4)
р-^р'^р" ¦... р' = Мхр, р" — М2р', р"' = Мър", ...
