Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
е2 Лті/П' т==01 1...........П—\.
..., а~3, а~2, а"*1, а° = е, а1, а2..............................
§ 2. Группы. Определения и примеры
27
процесс, мы найдем циклы (45) и (67). Нашу перестановку можно записать по-другому в виде
(123) (45) (67) (8).
Заметим, что циклы не имеют общих символов. Цикл (123) можно рассматривать как сокращенную запись следующей перестановки степени 8:
/1234567 8\
\2 З 1 547 6 8/
Наши обозначения можно еще больше сократить, если не указывать символа 8, остающегося на месте, и записывать нашу первоначальную перестановку в виде
(123) (45) (67), (1.18)
но степень перестановки следует иметь в виду. Поскольку циклы не имеют общих элементов, они коммутируют друг с другом, например
(123) (45) = (45) (123),
поэтому порядок, в котором мы записываем циклы, несуществен. Кроме того, записывая отдельный цикл, мы можем начинать с любого элемента в цепочке:
(123) = (231) = (312).
Цикл длины 2 называется транспозицией. Всякий цикл можно записать в виде произведения транспозиций (имеющих общие элементы). Например,
(123) = (13) (12),
или в общем случае
(12 . . . /г) = (1 /г) ... (13) (12).
Цикл из 3 символов записывается в виде произведения 2 транспозиций, цикл из п символов—в виде произведения п—1 транспозиции.
Продолжая аналогичным образом, можно разложить всякую перестановку в произведение транспозиций. В нашем примере
(123) (45) (67) = (13) (12) (45) (67). (1.19)
В (1.18) число переставляемых символов равно 7, а число независимых циклов равно 3. Разность между этими числами 7—3 = 4 называется декрементом перестановки. Читатель должен самостоятельно доказать, что если декремент перестановки четен (нечетен), то разложение этой перестановки в произведение транспозиций будет содержать четное (нечетное) число сомножителей. Перестановки с четным (нечетным) декрементом называются четными (нечетными) перестановками.
28
Глава 1. Элементы теории групп
Покажем теперь, что, умножив данную перестановку на произвольную транспозицию, мы изменим декремент на + 1, т. е. перейдем от четной перестановки к нечетной или же наоборот. Рассмотрим транспозицию (ab), на которую мы умножаем данную перестановку. Разложим эту перестановку на независимые циклы. Предположим, что а и b попали в один и тот же цикл:
{а ... xb ... у).
Тогда
(ab) (а ... xb ... у) = (а ... х)(Ь ... у),
так что декремент уменьшится на 1. Наоборот, если а и b находятся в разных независимых циклах, мы видим (проводя рассуждения в обратном порядке), что умножение на (ab) увеличивает декремент на 1. Произведение двух четных (или нечетных) перестановок дает четную перестановку. Произведение нечетной и четной перестановок дает нечетную перестановку. Перестановка, обратная четной (нечетной) перестановке, четна (нечетна). Нечетные перестановки степени п не образуют группы (так как их произведения являются четными перестановками). Четные же перестановки степени п образуют группу— знакопеременную группу JLn, состоящую из я!/2 элементов.
11. Элементы группы — множество всех целых положительных чисел. Рассмотрим перестановки, в которых меняется местами любое конечное число символов. Множество перестановок, построенных таким способом, называется счетной симметрической группой.
12. Элементы группы — невырожденные матрицы п X п. Групповая операция — матричное умножение.
13. Элементы группы — невырожденные матрицы, имеющие определитель, равный +1. Групповая операция — матричное умножение. Такая группа называется унимодулярной.
14. То же, что в примере 13, за исключением того, что теперь определители равны —j— 1. Такая группа называется специальной унимодулярной.
§ 3. Подгруппы. Теорема Кэли
Если из элементов группы G мы выберем некоторое подмножество , то, чтобы показать, что е%? содержится в G, мы воспользуемся обозначением e%?cG. Если подмножество е%? образует группу (относительно той же групповой операции, которая используется в G), то говорят, что является подгруппой группы G. Всякая группа имеет две тривиальные подгруппы: группу, состоящую из одного лишь единичного элемента, и саму группу G в целом. Эти подгруппы называются несобственными. Одна из главных задач теории групп состоит в отыскании всех остальных (собственных) подгрупп данной группы G.
§ 3. Подгруппы. Теорема Кэли
29
Следует особо подчеркнуть, что е%? образует группу относительно той же групповой операции, что и G. Рациональные числа образуют группу G относительно сложения. Положительные рациональные числа образуют группу G' относительно умножения, но G' не является подгруппой группы G, несмотря на то, что элементы G' образуют подмножество элементов группы G.
Чтобы удостовериться в том, что некоторое подмножество е%? элементов группы G является подгруппой, мы проверяем, выполняются ли следующие требования:
1) произведение любой пары элементов подмножества е%? принадлежит
2) вместе с каждым своим элементом &€ содержит обратный ему.
Другие требования группы выполняются в силу того, что effi содержится в группе G. Например, ассоциативный закон выполняется в G и тем самым выполняется в . Группа G содержит единичный элемент, а из требований 1 и 2 следует, что и S6 содержит его.
