Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
то
(1.5)
(1.5а)
§ 1. Соответствия и преобразования
15
зависит от порядка выполнения отображений. Отображения являются некоммутативными операциями.
Нас будут интересовать только взаимно однозначные отображения, или преобразования, т. е. такие отображения, при выполнении которых никакие две точки множества не имеют одинаковых образов и каждая точка р' множества служит образом одной (и только одной) точки р. Отображение М в (1.2) было взаимно однозначным, в то время как отображение М' в (1.3) взаимно однозначным не было.
Если задано некоторое взаимно однозначное отображение, то можно найти обратное отображение, которое уничтожает действие первого. Например, если преобразование М переводит р в р' (р' = Мр), то обратное преобразование М~1 переводит р в р (р = М~1 р). В этом случае
р = Мр = ММ~1р ,
откуда
ММ~1 = 1 (1.6)
и
р = М~1 р = М~1Мр,
так что
М~1М = 1.
Например, преобразованием, обратным преобразованию
(а-*-Ь М = I Ь —> а ,
I с —>¦ с .
является
1а->Ь'
M~l = \b^a \
I с -> с
следовательно, в этом случае преобразование М совпадает со своим обратным.
Легко найти преобразование, обратное произведению преобразований. Для отображений М и М', фигурирующих в (1.4),
p = M~lp', p' = M'~lp", p = N[~xN['~xf,
так что
(М'М)~1 = М~1М'~1. (1.7)
Словами это можно выразить так: преобразование, обратное произведению преобразований, получится, если выполнять обратные преобразования в обратном порядке. Ниже приводятся примерь} преобразований.
16
Глава 1. Элементы теории групп
Примеры
1. Перестановки. Множество из п ящиков (точек) перенумеровано числами от 1 до п. Каждый ящик содержит какой-то один предмет. Затем предметы из одних ящиков перемещают в другие так, что снова в каждом из п ящиков находится по одному предмету. Например, если предмет раньше находился в ящике 1, а теперь он находится в ящике 3, мы скажем, что 3 есть образ 1 при таком преобразовании. Рассмотрим конкретный пример множества из 4 ящиков. Предметы в этих ящиках были переставлены между собой так, что содержимое ящика 1 перешло в ящик 4, содержимое ящика 2 — в ящик 3, содержимое ящика 4 — в ящик 2 и содержимое ящика 3 — в ящик 1. Это отображение записывается в виде
1 —> 4
2 —> 3
4-*2 '
,3-> 1
Можно сказать, что наше преобразование сводится к переходу от
одного упорядоченного расположения чисел 1.............4 к другому
упорядоченному расположению. Такие преобразования называются перестановками. Одно из общепринятых обозначений для перестановок состоит в том, что под каждым предметом подписывают его образ при этом преобразовании. В этих обозначениях наш пример следовало бы записать так:
1234 N 4312/'
Числа в верхней строке мы записали в естественном порядке, но это не обязательно: ту же перестановку можно было бы записать и в виде
1324\ /4213
4132/ ИЛИ \2341
Поскольку соответствия между предметом и его образом сохраняются одними и тем'и же, эти различные способы записи представляют одну и ту же перестановку.
Нашим примером служит перестановка четырех символов, поэтому мы говорим, что она является перестановкой степени 4. Мы могли бы выполнить и другие перестановки четырех символов, например точка 1 могла бы иметь в качестве образа точку 1, 2, 3 или 4. Тогда для выбора образа точки 2 осталось бы только три возможности что в свою очередь оставило бы только две возможности
§ 1. Соответствия и преобразования
17
для выбора образа точки 3, и, наконец, имелась бы только одна возможность для выбора образа точки 4. Таким образом, существует 4 • 3 • 2 • 1 = 4! = 24 перестановки степени 4. Аналогично, число перестановок п символов, т. е. число перестановок степени п, равно п!
2. Параллельные переноси. Точки прямой обозначены координатой х. Преобразование состоит в сдвиге каждой точки на две единицы вправо:
х -> х' = х —(- 2.
3. Проективные преобразования прямой. Проективные преобразования точек оси X определяются с помощью соотношения
Задача. Двойное отношение четырех точек на прямой определяется
как
где хъ х2, х3, х4 — координаты четырех точек. Покажите, что двойное отношение инвариантно относительно проективного преобразования, т. е. двойное отношение, вычисленное для образов точек, имеет тот же вид, что и для исходных точек.
4. Перестановки степени п можно также рассматривать как специальные линейные преобразования в п-мерном пространстве. Точка, v-я координата которой есть xv, отображается в точку, у которой pv-я координата (относительно тех же координатных осей) есть jtv, где — образ v при перестановке. Перестановка имеет вид
х^-х', х' = — , где ad—Ьсф0.
cx-\-d ’
(X\—X2)I(XZ — X2) (xi — xi)l(xz — xi) ’
Примеры (продолжение)
соответствующее ей преобразование координат задается формулами
18
Глава 1. Элементы теории групп
Для частного случая, рассмотренного в примере 1, соответствующее преобразование координат имело бы вид
5. Линейные преобразования в п-мерном пространстве. Преобразования, рассмотренные в примере 4, являются частными случаями линейных преобразований в я-мерном пространстве. При фиксированной системе координат линейное преобразование отображает точку
