Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Я¦ Смородинский Ю. Данилов
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Эта книга представляет собой попытку показать, что теоретикО* групповые методы могут служить не только предметом рассмотрений, доступных немногим посвященным, но и удобным средством иссле* дования. Я пытался излагать содержание статей и книг так, чтобы сделать материал как можно более доступным. Для понимания большей части текста не требуется никаких предварительных знаний теории групп, но предполагается, что читатель знает квантовую механику.
В основу этой книги положены лекции, которые в разное время читались в Аргоннской национальной лаборатории. Основная часть материала о кристаллографических группах и полях в кристаллах излагалась в курсе лекций, прочитанном в 1953 г. Некоторые из вопросов, относящиеся к ядерной физике, разбирались на лекциях в 1955 г. В лекциях 1957 г. рассматривалась группа Лоренца. В настоящей книге содержится лишь введение в круг вопросов, свя* занных с группой Лоренца, поскольку я почувствовал, что этот предмет нельзя излагать должным образом без подробного рассмотрения квантовой теории поля.
Большая часть окончательного варианта рукописи была написана в Цюрихе в 1958—1959 гг. Я весьма благодарен руководителям Аргоннской национальной лаборатории, предоставившим мне возможность сосредоточить все усилия на завершении работы над этой книгой. Я выражаю также свою благодарность совету Лондонского королевского общества за разрешение воспроизвести таблицы (в гл. 10 и 11), первоначально опубликованные в Proceedings of the Royal Society.
Эту книгу я посвящаю моей жене Маделине, которая перепечатала всю рукопись и исправила много стилистических и технических ошибок.
Мортон Хамермеш
ВВЕДЕНИЕ
Цель этой книги — изложить те аспекты теории групп, которые необходимы при рассмотрении физических задач. С самого начала следует сказать, что все излагаемые нами результаты можно получить, не используя абстрактные методы теории групп. Однако на самом деле эти иные «простые» методы, представляют собой не что иное, как некоторые из теоретико-групповых методов, заново открытые физиками. В простых задачах теоретико-групповой подход также прост; в более же сложных задачах использование его мощных средств может значительно уменьшить затраты труда. Не следует отрицательно относиться к теоретико-групповому формализму как таковому: коль скоро физические идеи не упускаются из виду, этот формализм представляет ценность. В нашем изложении «интуитивные» методы будут рассматриваться наряду с более абстрактными.
Я надеюсь, что изучение теории групп позволит читателю составить представление о том обширном круге физических задач, где важную роль играют понятия симметрии и инвариантности. Мы увидим также, что многие из понятий, которые мы считали не связанными между собой, например четность, тензорные свойства, спинор, момент количества движения и т. д., допускают единое рассмотрение с теоретико-групповых позиций.
Прежде чем приступать к изложению теории групп, рассмотрим несколько простых примеров.
Уравнение Шредингера для одномерной задачи можно записать в виде
u"-\-[k—V{x)\u = 0, (1)
где X — собственное значение, и — собственная функция и V (х)—потенциал. В случае одномерной задачи решения должны быть невырожденными, т. е. каждому собственному значению А, должно соответствовать лишь одно решение и (л:). Предположим теперь, что наш потенциал V (л:) есть четная функция от х
V(x) = V(-x). (2)
Заменяя х на —х, мы видим, что если и (х) есть решение, соответствующее собственному значению А,, то это же справедливо и для
10
Введение
и{—х). В таком случае отсутствие вырождения приводит к требованию
и (— х) = си (х), где с — некоторая константа:
Таким образом, собственные функции и{х) либо четны, либо нечетны. Формулировку наших результатов можно обобщить следующим образом.
В уравнении Lu = 0, где L—’линейный оператор, свойства симметрии L (в нашем случае оператор L не изменялся при замене х на — х) приводят к классификации решений и по тем же свойствам симметрии.
Отметим также, что свойстза симметрии системы (т. е. ее гамильтониана) приводят к правилам отбора:
если функции ип и ит — обе четные или обе нечетные; интеграл будет отличен от нуля лишь в том случае, если иП и ит—функции различной симметрии.
Этот простой пример подводит нас к общему вопросу. Какие свойства собственных функций следуют из инвариантности гамильтониана относительно различных операций симметрии?
В качестве другого примера рассмотрим движение электрона в сферически симметричном поле [потенциал V(г) зависит только от г]. Инвариантность гамильтониана относительно вращений приводит к тому, что собственные функции имеют вид
где Yf —сферические функции. Каждое собственное значение энергии характеризуется азимутальным квантовым числом / и имеет 2/ —1 соответствующую ему собственную функцию (т = 1, /—1.............—/).
Классификацию собственных функций производят в соответствии с тем, как они ведут себя при вращениях. Если V(г) имеет весьма специальный вид, например
то может случиться так, что решения с различными значениями I совпадают. Такое усилившееся вырождение, как показал Фок, происходит из-за того, что гамильтониан оказывается инвариантным относительно более широкого класса операций симметрии, чем просто вращения в трехмерном пространстве. Аналогичный эффект, имеющий Такое же объяснение, может встретиться в случае гармоническцго
