Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
21
обозначения единичного элемента, а элемент, обратный для элемента а, записывается в виде (—а) и называется противоположным. Число элементов в группе называется порядком группы.
Выбрав произвольный элемент а группы G, мы можем составить произведения а с самим собой, например произведение
аа,
которое обозначим а2. Точно так же под ап мы будем понимать элемент, получившийся при перемножении п элементов, каждый из которых равен а. Вводя символ а~1 для элемента, обратного а, мы имели в виду именно эти обозначения. Например,
а~1 - а = е = а0.
Аналогично можно определить отрицательные степени а
а~т = (а~1)т = (ат)~1, (1.15)
причем последний шаг в этих преобразованиях вытекает из (1.7). Говорят, что а — элемент бесконечного порядка, если все степени элемента а различны. Если же дело обстоит иначе, то, возводя элемент а последовательно в степени 1, 2, ... и т. д., мы найдем два целых числа г и s (г > s) таких, что
ar — as.
Умножив на a~s, получим
ar~s = е, г — s > 0.
Предположим, что п — наименьшее целое положительное число такое, что ап равно единице, т. е.
ап = е, п > 0, (1.16)
и если а* = е, k > 0, то k ^ п. Мы говорим, что элемент а есть элемент порядка п.
Если а—элемент п-то порядка, то все элементы
а° = е, а, а2......ап~1 (1-17)
различны (ибо если ar = as, то ar~s=e, причем г—s < п). Следовательно, любая другая степень элемента а равна одному из элементов, перечисленных в (1.17). Всякое целое число к можно записать в виде
k = sn -f -1, о t < n,
откуда
ак: asn+t - asnat - (an)s a* - a1.
Из этого рассуждения мы видим, что если д* = е, то k кратно п.
Группа порядка 1 содержит один элемент — единицу е: ее = е.
Группа порядка 2 содержит два различных элемента. Одним из
них должна быть единица е. Второй элемент назовем а. Тогда
22
Глава 1. Элементы feopuu групп
аа (= а2) не может совпадать с элементом а, так как из а2 = а следует, что а = е. Поэтому должно выполняться равенство а2 = е, т. е, элемент а совпадает со своим обратным элементом а = а-1. Ниже приводятся примеры групп второго порядка.
1. Элементами служат целые числа 0 и 1. Групповой операцией является сложение по модулю 2, т. е. мы складываем элементы и берем остаток от деления их суммы на 2:
2. Элементы группы — преобразования точек трехмерного пространства. Элемент е—тождественное преобразование, элемент а — преобразование, заменяющее каждую точку ее зеркальным отражением в некоторой данной плоскости (например, в плоскости YZ), так что а изменяет знак координаты х каждой точки.
3. То же, что и в примере 2, но теперь а—инверсия относительно начала координат (т. е. а заменяет х, у, z на —х, —у, —z).
4. То же самое, но на этот раз а — поворот на 180°, например вокруг оси Z.
5. То же самое, но теперь а — инверсия относительно единичной сферы: точка, сферические координаты которой равны г, 0, ф, отображается в точку 1 /г, 0, ф.
6. Элементы группы — целые числа 1 и —1, групповая операция— обычное умножение.
7. Элементы — перестановки двух символов:
Мы рассмотрели семь различных реализаций абстрактной группы порядка 2. Все эти группы имеют совершенно одинаковую структуру. Такие группы называются изоморфными.
В общем случае мы скажем, что две группы G и О' изоморфны (G « О'), если их элементы можно поставить во взаимно однозначное соответствие, сохраняющееся при выполнении групповой операции. Рассмотрим, например, группы 1, 6 и 7, указанные выше. Сопоставим их элементы следующим образом:
Примеры
0+0 = 0, 0+1 = 1+0=1, 1 + 1=0.
Группа 1: 0
Группа 6: 1
— 1
1 + 1= 0, (_!)(_!)= 1,
Группа
§ 2. Группы. Определения и примеры
23
Если элемент, соответствующий элементу а (а принадлежит группе G), обозначить через а' (а' принадлежит группе G'), т. е. штрих над символом элемента будет означать элемент, поставленный ему в соответствие, то группы G и G' окажутся изоморфными, если
a'b' = (ab)’.
Заметим, что а’Ъ’ означает произведение а’ и Ь' относительно групповой операции в группе G', в то время как аЬ означает произведение а и Ь относительно групповой операции в группе G. Например, групповыми операциями в трех перечисленных выше группах были сложение, умножение и последовательное выполнение преобразований соответственно.
Если две группы изоморфны, то их структура одинакова; символы и слова могут отличаться, но как абстрактные группы они совпадают.
Рассмотрим далее абстрактную группу порядка 3. Различные элементы ее назовем а, b и е. Произведение аЬ не может быть равным а (или Ь), так как из этого следовало бы, что Ь = е (или
а = е). Поэтому ab должно быть равным е. Аналогично усматри-
ваем, что а2 = Ь. Таким образом, группа порядка 3 состоит из элементов а, а2, а3=е. Она служит примером циклической группы, состоящей из степеней одного элемента.
Вот некоторые реализации этой группы:
1) вращения равностороннего треугольника ABC в его плоскости, совмещающие треугольник с самим собой;
2) повороты трехмерного пространства на углы 0, 120 и 240°
вокруг оси Z;
3) кубичные корни из единицы с обычным умножением в роли групповой операции.
