Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
получим
Перестановка ле, сопоставленная единичному элементу е группы G, есть тождественная перестановка
Точно так же
так что перестановки, поставленные в соответствие элементам G, образуют некоторую подгруппу в Sn, и теорема доказана.
Перестановки, поставленные в соответствие каждому элементу группы, — это именно те перестановки, которые мы получили бы из рассмотрения групповой таблицы. Например, в случае четверной группы V структурная таблица имеет вид
Чтобы найти перестановку, соответствующую, например, элементу а, мы запишем в верхней строке символы
а под ними выпишем символы в том порядке, как они расположены в строке, где мы производим умножение на а слева, т. е.
Лепь neb = b'
е а Ь с
е е а Ь с
а а е с Ь
b b с е а
с с b а е
eabc,
aecb.
Тогда
а^па =
Если мы обозначим элементы е, а, Ь, с числами 1, 2, 3, 4, то перестановки, соответствующие элементам е, а, Ь, с, запишутся
$ 3. Подгруппы. Теорема Кэли
33
в виде
/1234N Л‘ = іі234І*
/ 1234 \
^=(214з] = (12)(34)’
/ 1234 \
Л^(3412) = (13)(24)’
( 1234 \
^ = (4321 J = <14> (23>-
Построенные таким способом группы перестановок обладают некоторыми характерными особенностями:
1) они являются подгруппами порядка п симметрической группы Sn\
2) эти перестановки, за исключением тождественной, которая не переставляет ни один из символов, не оставляют ни одного символа на его прежнем месте, ибо перестановка пь переводит ai в элемент bat, который равен а,- только в том случае, если Ъ — единичный элемент.
Перестановки группы Sn, обладающие этими двумя свойствами, называются правильными перестановками. Подгруппы, содержащие только правильные перестановки, имеют и другие свойства, являющиеся следствиями первых двух. Если две перестановки л, и л2 переводят один и тот же символ, например 3, в один и тот же символ, например 4, то перестановка л^1, которая также принадлежит этой группе, должна была бы оставлять 3 и 4 без изменений. С другой стороны, поскольку Ф л2, перестановка л^1 не может быть тождественной перестановкой и поэтому переставляет местами какие-то символы. Но это противоречит нашему предыдущему результату о том, что все такие перестановки (за исключением тождественной) не оставляют на месте ни одного символа. Так как существует п перестановок п букв, мы приходим к выводу, что символ 1 каждой из перестановок группы переводится в некоторый
другой символ (1......я). (То же применимо к каждому из остальных
символов.) Например, в группе V перестановка пе переводит 1 в 1, ла переводит 1 в 2, пь переводит 1 в 3 и лс переводит 1 в 4.
Другое интересное свойство подгруппы правильных перестановок состоит в следующем. Рассмотрим любую из перестановок пь и разложим ее на независимые циклы. Мы утверждаем, что все циклы должны быть одинаковой длины. Если бы разложение пь содержало два цикла различной длины llt 12 (1\ < /2)> т0 перестановка я?, также принадлежащая группе, оставляла бы неизменными все символы в первом цикле, но не оставляла бы неизменными все символы
34
Глава 1. Элементы теории ipijnn
во втором цикле. Это противоречит нашему определению подгруппы правильных перестановок. В правильной подгруппе не может содержаться, например, такая перестановка:
(12) (345),
так как квадрат ее равен перестановке
(1) (2) (354).
Наше утверждение иллюстрируется на примере четверной группы Клейна. Каждая из ее перестановок есть произведение двух независимых циклов длины 2.
Циклическая группа порядка 4 дает нам правильную подгруппу группы S4 следующего вида:
е; (1234); (13)(24); (1432).
Первый элемент имеет 4 цикла длины 1, второй и четвертый имеют один цикл длины 4, а третий имеет два цикла длины 2.
Для нахождения возможных структур группы можно использовать теорему Кэли. Например, предположим, что п — простое число. В этом случае группа порядка п изоморфна правильной подгруппе группы Sn. Так как перестановки правильные, то в их разложении на независимые циклы все циклы должны быть равной длины. Поэтому длина цикла должна быть делителем п. Так как п — простое число, длины циклов могут быть равны только п или 1 (для тождественной перестановки). Поэтому правильная подгруппа является просто циклической группой, содержащей перестановку (12 ... п) и ее степени. Тем самым мы показали, что если порядок п группы — простое число, то группа — циклическая. Другое доказательство этого результата мы приведем в этой же главе позднее. Наш результат позволяет решить задачу об отыскании возможных структур групп простого порядка.
Воспользуемся теперь теоремой Кэли для отыскания возможных структур группы порядка 4. В соответствии с теоремой наша задача эквивалентна нахождению правильных подгрупп группы S4. Перестановки такой подгруппы должны содержать либо один цикл длины 4, либо два цикла длины 2 (разумеется, тождественная перестановка содержит 4 цикла длины 1). Предположим сначала, что одна из перестановок является циклом длины 4, например (1234). Возведя ее в степени 1, 2, 3 и 4, получим перестановки (1234), (13)(24), (1432), е, т. е. совокупность четырех элементов. Это — циклическая группа порядка 4. Далее предположим, что не существует циклов длины 4, а имеются только перестановки с двумя циклами
