Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа 35
длины 2. Квадрат таких перестановок равен е, и существует ровно три такие перестановки:
(12) (34); (13) (24); (14) (23),
которые вместе с е и образуют четверную группу.
Задачи. 1. Укажите элементы правильной подгруппы группы S6, изоморфной циклической группе порядка 6.
2. Воспользуйтесь теоремой Кэли, чтобы найти возможные структуры групп порядка 6.
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа
Абстрактные группы порядков 1, 2, 3 не имеют собственных подгрупп. Циклическая группа порядка 4 имеет подгруппу порядка 2, состоящую из элементов а2 и е, так как (а2) (а2) = а4 = е. Четверная группа имеет три собственные подгруппы порядка 2;
а у є, bt є, с, в,
все эти подгруппы изоморфны. Заметим, что порядок подгруппы, равный 2, является делителем порядка группы, равного 4. Сейчас мы покажем, что этот результат (принадлежащий Лагранжу) выполняется и в общем случае.
Порядок подгруппы конечной группы есть делитель порядка группы.
Пусть группа G порядка g содержит подгруппу порядка А. Если Ц6 исчерпывает собой группу G, то 3@=G, и результат тривиален (заметим, что здесь знак равенства означает, что два множества содержат одни и те же элементы). Если же это не выполняется, то пусть а есть элемент группы О, не содержащийся в ffi. Обозначив элементы фв через
е, а2* Я3......
образуем произведения
ае = а, аН2, аН3..........а#А.
Эту совокупность произведений обозначим символом а?$. Все произведения aHv различны, так как если
то
aHv - аН^,
Н, = Нг
36
Глава 1. Элементы теории групп
Точно так же ни одно из них не содержится в Ив, так как если
аНх = НЛ,
ТО
а = Н»Щ1
и а принадлежало бы Ив, вопреки нашему предположению. Мы получили два множества Ив и аИв, каждое из которых содержит Л различных элементов, принадлежащих G. Если на этом группа G не исчерпана, мы продолжаем действовать гак же, как и прежде, выбирая некоторый элемент b в G, который не содержится ни в Ив, ни в аИв. Множество ЬИв дает Л новых элементов группы G, так как если
ЪН, = аН^
то
b=aHtlHVі
и b принадлежало бы аИв, что противоречит нашему предположению. Продолжая этот процесс, мы можем исчерпать группу G, представив ее в виде суммы конечного числа различных множеств, каждое из которых состоит из Л элементов:
0 = Нв+аИв + ЬИв + ¦¦¦ +Ш. (1.20)1)
Таким образом, порядок g группы G есть кратное порядка Л ее подгруппы Ив, т. е.
g = mh, (1.21)
где m называется индексом подгруппы Ив в группе G. Множества элементов вида аИв в (1.20) называются левыми смежными клас-сами Ив в G. Они, безусловно, не являются подгруппами, так как не содержат единичного элемента. Разумеется, доказательство можно было бы проводить, умножая Ив справа. Это привело бы к разложению G на правые смежные классы по подгруппе Ив
G = Ив Ив а' ИвЬ' ... +Hek'. (1.20а)
Из равенства (1.21) мы видим, что группа, порядок которой есть простое число, не может иметь собственных подгрупп.
Взяв любой элемент а (порядка Л) в группе G, мы можем построить циклическую группу, образуя последовательные степени а.
‘) Знак „плюс* в равенстве (1.20) означает суммирование множеств: множество G содержит все элементы, принадлежащие &Є, все элементы, принадлежащие а&е, и т. д. В рассматриваемом случае множества &Є, ада, ... не имеют общих элементов. Вообще говоря, сумма двух множеств А и В есть множество всех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств А или В,
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа
37
Циклическая группа {а} :а°=е, а, а2, ..., ah~l, образованная элементом а, называется периодом элемента а. Это наименьшая подгруппа группы G, содержащая элемент а. Из (1.21) следует также, что h есть делитель числа g, так что порядки всех элементов конечной группы должны быть делителями порядка группы. Из этого мы заключаем, что группа простого порядка должна быть циклической и может быть образована по любому своему элементу, отличному от единицы. Это обстоятельство дает нам ответ на задачу о нахождении структуры группы порядка 5: она образуется из элемента а такого, что а5 = е, и аналогичный ответ для групп порядка
7. 11, 13 и т. д.
Ниже приводятся примеры разложения группы на смежные классы.
Примеры
1. Пусть G — группа целых чисел по сложению, &€—группа чисел, делящихся на 4, по сложению. Тогда
О = $& + (1+30) + (2 + ЗЄ) + (Ь + Ш
так что индекс подгруппы ?№ в G равен 4. Здесь смежный класс (1+е$?) представляет собой множество целых чисел вида 4л —)— 1 (п — целое число). Два элемента а и b группы G принадлежат одному и тому же смежному классу, если а—b делится на 4.
2. Пусть G=S3 и ?№ — подгруппа, содержащая е и (12). Тогда
S3 = &€ + (13) &Є + (23) &€ = &Є + Ж (13) + ^ (23).
Задача. Циклические перестановки четырех символов образуют подгруппу &Є в S4. Разложите S4 на левые смежные классы по $$. Сравните это разложение с разложением на правые смежные классы.
Теорему Лагранжа можно использовать для того, чтобы найти возможные структуры групп заданного порядка. Для примера найдем все структуры групп порядка 6. Так как порядок равен 6, порядок каждого из ее элементов является делителем 6, т. е. равен
