Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Разрешив последнее уравнение относительно d и подставив полученное значение в остальные соотношения, найдем
которая обладает тремя независимыми вещественными параметрами. Теперь мы должны найти неприводимые представления унитарной группы и затем показать, как эти представления группы “Иг позволяют получать представления группы вращений.
Одно представление группы ^1.2 Дают нам матрицы (9.56), а именно представление самими матрицами группы Образуя симметричные произведения этого представления с самим собой, мы можем строить другие представления. Симметричные произведения и2, uv, v2(=x1, х2, х3), будучи однородными многочленами относительно и И V, при преобразованиях (9.56) преобразуются друг через друга. Из
(9.56), взяв произведения, находим:
aa'-\-bb*=\, cc*-\dd*=\,
а*с b*d = 0, ad — be = 1.
(9.55)
, ас аа с . . ,4 , *
d =---------¦рг ,----------р--------be = 1, с = — b , d = а .
Мы пришли к рассмотрению группы “Иг преобразований и' = au-\-bv
(9.56)
х' = а2х1 -)- 2 abx2 -)- Ь2ху
х2 = — ab*xj -)- (аа* — bb*) х2-\- а*Ьху
л;' = Ь*2х1 — 2а*Ь*х2-\- а*2х^.
(9.57)
412
Г лава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Перепишем эти равенства, выразив их через хх + х3, х2: х[—х'3= (а2 — Ь*2) xx+2(ab+ a*b*) х2 + (b2 — а*2) хъ =
= | (в2 - Ь+ Ь2- а*2) (*, + *3) + 2 (аЬ + а*Ъ*) *2 +
+ Т (fl2 ~ + а*2) (*i — хз).
\ -)- л;' = -j (а2 -)- а* -\-b2-\-b*)(xl-\-x^-\-2(ab—a*b*)x2-\- (9.58) +1 (а2 ~ а*2 + Ъ*2 - *2) (*, - лг3), jc' =. -і- (а** — ab*) (л:, + лг3) + (аа* — М*) л;2 —
— ^(a*b+ab*) (Xl—x?.
Пусть теперь
x = -j(xi—x?, У = ^г(х1 + хъ), z = x2,
тогда
х> = \ (а2 — Ь*2 — Ь2-\- а*2) х +
+ 4 (а2 — Г* + Ь2 - а*2) y+(ab+ а V) z,
у’ = — ~{а2+Ь*г — Ъ2 — а*2)* + (9.59)
+ 4 (fl2+ Ь*2+Ь2+ а*2) у-i (ab — aV) г, г' = — (а*? + ab*) х + / (a*b — abf) у + (аа* — ЬЬ*) z.
Нам удалось сопоставить каждой матрице группы СЦ2 некоторое преобразование переменных х, у, z. Кроме того, мы видим, что все коэффициенты в (9.59) вещественны. Если обе части равенств (9.59) возвести в квадрат, почленно сложить и воспользоваться соотношениями (9.55), то получим
*'2 + / + *'2 = *2 + У2 + z2',
следовательно, преобразование (9.59) есть вещественное ортогональное преобразование переменных х, у и z (с определителем, равным единице) и поэтому представляет собой чистое вращение. Итак, если нам задано какое-нибудь унитарное унимодулярное преобразование
(9.56), мы можем воспользоваться преобразованием (9.59), чтобы найти связанное с этим преобразованием трехмерное вращение. Теперь
§ 6. Двузначные представления группы вращений
413
покажем, что таким способом все вращения можно сопоставить каким-то унитарным преобразованиям. Вращения характеризуются углами Эйлера а, р, у. Если мы выберем унитарное преобразование с параметрами
а=е1а/2, Ь = О,
то соотношения (9.59) сведутся к соотношениям
Ar' = A:cosa—ysina, у' = х sin a-(- у cos a, z' = z, (9.60)
т. e. выбранное нами преобразование будет поворотом R (а, 0, 0) на угол а вокруг оси Z:
(9.61)
-gia/ 2 0 1 ‘cos a — sin a O'
1 1 у sin a cos a 0
0
0 0 1,
Если выбрать параметры
то преобразование (9.59) примет вид
z' = z cos р — х sin р, х' = z sin р—|- х cos р, у' = у, (9.62)
т. е. это преобразование представляет собой поворот /?(0, р, 0) на угол р вокруг оси К:
Р
Pi
cos-^- sin -J . p p — Sin 7j- COS-75-J
COS P 0 sinp 0 1 0
-sinp 0 COS P
(9.63)
Итак, вращению общего вида
R(a, p, y) = R (Y. 0, 0)R(0, p, 0)R(a, 0, 0) мы ставим в соответствие унитарное преобразование
e'Y/2 о О e-'V/2
р , р 1
cos -7J- sin 7^-
¦ р р
—sin-^- cos y
еіа/2 о '
0 в-'о/2
(9.64)
или
C0Si.g(i/2)(a+Y) sin |-e('/2)(V-a)
_8ІП Р g(i/2)(a-v) cos|-e-('/2)(a+V)
2 ^
¦R(a, p, y). (9.65)
Мы получили в результате гомоморфное отображение унитарной группы ^2 на группу вращений. Мы должны еще ответить на вопрос, СКОЛЬКО элементов группы ^2 отображается в единицу группы
414
Г лава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
вращения. Из (9.65) мы видим, что в единичный элемент группы вращений отображаются две унитарные матрицы
Г1 01
Поэтому эти два элемента образуют инвариантную подгруппу группы ^2. и произведения ЭТИХ элементов И любого элемента группы ^2 отображаются в один и тот же элемент группы вращений. Таким образом, каждому элементу группы вращений соответствуют два элемента унитарной группы, которые отличаются лишь тем, что все их коэффициенты имеют противоположные знаки. Элементы группового многообразия группы ^2 находятся во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности сферы в четырехмерном пространстве
Поскольку сфера односвязна (см. задачу в § 14 гл. 8), групповое многообразие группы СЦ2 односвязно. Яіг имеет только однозначные представления (см. § 14 гл. 8) и служит универсальной накрывающей группой группы 0+ (3).
Если мы получим какое-нибудь представление группы ^2- т0 матрицы этого представления будут связаны с соответствующим элементом группы вращений. Поскольку квадрат элемента
отвечающая ему матрица в любом представлении должна быть равна единичной матрице, взятой со знаком плюс или минус, т. е. в любом представлении унитарной группы
