Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
1
О 1
и
Г—1 01
МЧ-1*12=1.
(9.56)
унитарной группы равен
1 0 0 1
D(-1)=±D(1). Если в рассматриваемом представлении
D (—1) = D (1),
то для любого элемента и унитарной группы
D (— u) = D (и),
§ 6. Двузначные представления группы вращений
415
поэтому каждый элемент группы вращений оказывается поставленным в соответствие единственной матрице. Такие однозначные представления группы вращений должны совпадать с найденными нами ранее представлениями D(i). Если же в каком-либо представлении унитарной группы
D (—1) = — D (1), то для каждого элемента и унитарной группы
D (— u) = -D(u),
и каждому вращению оказываются поставленными в соответствие две матрицы. Эти двузначные представления группы вращений не являются представлениями в собственном смысле и к ним неприменимы выведенные нами ранее соотношения ортогональности. Как мы увидим далее, при рассмотрении двузначных представлений группы вращений мы на самом деле переходим к унитарной группе (для которой это представление однозначно) и изучаем ее вместо группы вращений.
Наша первая задача состоит в том, чтобы найти все неприводимые представления унитарной группы. Метод построения представлений снова заключается в том, что мы образуем симметричные произведения так же, как мы делали это в частном случае в начале этого параграфа. Взяв переменные и и v и преобразовав их по формулам (9.56), рассмотрим совокупность произведений
и2), u2J~lv, u2J~2v2, ..., uv2i~x, v2!, (9.66)
или
^ = 17fv .--J' ~=Tf (*=-¦/’ ~J+X..............J~'> ^(9-67)
V (J + m)\U — m)l
где j принимает целые или полуцелые значения. [Числовые множители в (9.67) подобраны так, чтобы представления были унитарными.] При фиксированном j однородные полиномы fm преобразуются друг через друга, если переменные и иг/ подвергать линейным преобразо* ваниям (9.56). Поэтому эти полиномы образуют базис (2/ ^-мерного представления унитарной группы. Например, при /=1/2 имеем
/.А = и. f-y=V’
и нашим двумерным представлением унитарной группы является совокупность матриц (9.56). При у’=1 имеем
/і=«2. /о = uv, /_і =v2,
и мы получаем трехмерное представление (9.57). Представления унитарной группы будем обозначать символами D(1) (а, Ь), где а и b — коэффициенты в формуле (9.56), характеризующие элементы группы
416
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
(aa*-\-bb* — 1). Чтобы найти матрицы этого представления, применим к /т преобразование (9.56), которое обозначим R(a, b):
. R(a, b)fM = -~—}.n Ч| (au + bv)J + m(-b*u + a'v)J~m.
V (J + m)\() — m)\
(9.68)
Воспользовавшись разложением по формуле бинома, получим
R (a h\ f = V ________________!_____________(7 + т)! v
M.v-0 v (J + foy. и-m)\ |*І (У + ЯІ —I*)l
X (auy^^f v|(yi^!v), =
_ V VU + m)l(J — mT\
(J -j- m — [і)! [і! (J — m — v)! v!
n, v=o
X
x fl'+ra-VV(—(9.69)
Нам нет необходимости указывать верхние пределы изменения ц и v, поскольку факториалы в знаменателе обратят результат в нуль, если мы выйдем за надлежащие пределы. Выразим теперь правую часть этого равенства через функции fm. Пусть
v = j — ц — tn',
тогда
2j-n—v = j-\-m', м- -j- v = у — т'
и
п (п Лч f _ V f V [(У + w)i Ц — т)\(j + m')\U — m') 1]%
m' |x=0
b), (9.70)
или
nU) (n ,л_У lU+m)lU-m)\(J+m')\U-m')l]'b 4,
V-
X al+m-»a*l-m'-4'l(~b*)m"m+(9.71) Заметим, что базисные функции fm независимы и
J+l",lo=«)i -wiw’+Mf'. <9-72>
m т
следовательно, сумма 2l/ml2 инвариантна относительно унитарных
ГП
преобразований, и наши представления унитарны.
$ 6. Двузначные представления группы вращений
417
Явное выражение (9.71) для матриц D^m (а, Ь) чрезвычайно сложно. В частном случае при m' = j множитель (у—т' — ц)! в знаменателе обращает в нуль все члены, за исключением члена с и = О
Из (9.73) видно, что матричные коэффициенты b) в общем
случае отличны от нуля.
В частном случае а = е<а/2, Ь = О, в соотношении (9.71) остается только член с |i — 0, и мы получаем
0) = 6m.,„e'ma. (9.74)
Пользуясь матрицами частного вида (9.73) и (9.74), можно показать, что представления b) неприводимы. Метод остается та-
ким же, как тот, которым мы пользовались в случае представлений D(/) группы вращений. Если матрица А коммутирует с диагональной матрицей D(;)(eia/2, О), то она должна иметь только диагональные элементы: •
Лщ'т ОтЬт>т .
Если А коммутирует с унитарной матрицей b) общего вида,
то, взяв компоненту jrn произведений AD и DA, получим
ajD(jl = D(jham при всех т.
Из (9.73) следует, что
D(pm Ф О,
поэтому
am = aj при всех т..
Мы показали, таким образом, что матрица, коммутирующая со всеми матрицами нашего представления, кратна единичной матрице. В силу этого представления D<-J)(a, b) неприводимы. При различных j размерности представлений D(;) будут различными, поэтому эти представления неэквивалентны.
Чтобы найти характеры различных представлений D(;) (а, Ь), заме тим, что всякую унитарную унимодулярную матрицу можно унитарным уни* модулярным преобразованием привести к диагональному виду и что собственные значения такой матрицы представляют собой пары комплексно сопряженных чисел. Таким образом, каждая унитарная уни-модулярная матрица эквивалентна одной из матриц вида
