Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Задача. Решите секулярное уравнение и найдите собственные функции в нулевом порядке теории возмущений для ?-уровней при 1 — 3.
Наш основной результат состоит в том, что собственные функ* ции в нулевом порядке не будут более полностью определяться
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов
405
соображениями симметрии. Эти функции зависят от природы возмущающего поля. При 1 = 4 мы точно так же должны были бы решать секулярное уравнение для Лгуровня и Е-уровня.
Далее, найдем собственные функции для кристалла, обладающего гексагональной симметрией, например симметрией группы D6. Мы рассуждаем так же, как в случае тетрагональной группы.
За исключением тех случаев, когда т. кратно 3, cos/retp и sin/rnp на этот раз оказываются связанными между собой. Собственные функции различных представлений группы D6 даны в табл. 40. Мы снова выпишем эти функции для нескольких первых значений I:
Ах: Р°0 1=1. A2: Pi
Ex. V2Pl~>
Ь. 11 со A2:
Е2: Y 2 Р\ 2ф Bx. Y2 РзСОвЗф
Ег-. B2: Y2 P\ sin Зф
Ex /2"/1с“2ф
Ex: УТ/>?С“Ф (9.52)
1 = 4. An Pi
B2: V~2 P\ cos Зф
B\'. Y2 P\ sin Зф
E2: УУ^С°П82Ф, yr гИ COS A P* sin4*
Ei: і/2>?С08Ф r sinr
При / — 4 мы должны были бы решать секулярное уравнение для ?:2-уровней.
Угловое распределение плотности заряда для вырожденного состояния находят, вычисляя сумму квадратов модулей волновых функций при различных значениях т., соответствующих данному состоянию. Таким образом, плотность заряда оказывается равной сумме всех сферических функций, принадлежащих заданному значению I, и вследствие этого сферически симметрична. В поле внутри кристалла уровни, принадлежащие данному I, расщепляются, в силу чего распределение заряда перестает быть сферически симметричным. Асимметрия распределения заряда связана со структурой кристалла.
406
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
В случае тетрагональной группы симметрия кристалла сказывается прежде всего на P-состоянии. Для Л2-уровня заряд сосредоточен вдоль оси Z (главной оси), так как плотность его изменяется как cos2 0; для Е-уровня плотность изменяется как sin2 0 и заряд сосредоточен в плоскости XY. В свободном атоме оба эти состояния будут иметь одну и ту же энергию, но неэквивалентность оси Z и осей X и К в кристалле снимает вырождение. В D-состоянии мы
Таблица 40
Собственные функции неприводимых представлений гексагональной группы
Представления
нечетные I четные I
Собственные функции
Л2 А, Pq\ /2 Ябц cos 6|«р
л, Л2 УТ Pl6fl sin 6|«p
В\ В2 P6n + 3C0S (б,1* + 3) ф
В2 Вх V2 ^бц+з sin (6ц + 3)ф
Ё2 Ё2 VI <±2CS°® (6|i±2) ф
El Ех ^1±і“п№± 1)ф
получим Вт и Вх-уровни, для которых плотность заряда изменяется как sin40cos22<p и sii^Osin^tp соответственно. В обоих случаях заряд сосредоточен в плоскости ХУ, но для Я2'УР°ВНЯ плотность выше вдоль осей кристалла X и К, а для 5,-уровнп—вдоль прямых ф = 45° и 135°. Аналогичные соображения применимы и к распределению плотности заряда в случае гексагональной симметрии кристалла. Этот вид симметрии прежде всего отчетливо проявляется в уровнях, возникающих из /•’-состояния свободного атома. Волновые функции для Вх- и Я2-уровней сосредоточены в основных гексагональных плоскостях, но в случае /^-уровня плотность изменяется как соз2Зф и максимальна при ф = тя/3, в то время как для Л2-уровня плотность изменяется как зіп23ф. Кроме того, вся картина распределения плотности для Л2-уровня сдвинута на 30° относительно картины распределения плотности для В\-уровня.
Рассмотрим, наконец, случай кубической симметрии (группа О) Существенная особенность этой симметрии состоит в эквивалентность координат х, у и z. Метод нахождения функций нулевого порядка,
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов
407
принадлежащих различным неприводимым представлениям, заключается в следующем. При данном I выразим функции
I г~\1 /г\\ COS
Г Р,п sin m<P
в виде многочленов относительно X, у И z. Произведем все возможные перестановки переменных х, у и z. Многочлены, которые при этих перестановках преобразуются друг в друга, принадлежат одному и тому же неприводимому представлению. При / = 0 мы имеем многочлен Р°0=\, принадлежащий единичному представлению Ах. При 1= 1 (Р-состояиие) многочлен rPo = z преобразуется в многочлены л; и у при перестановках координат, откуда следует, что Р-уровень полем внутри кристалла не расщепляется. Чтобы решить вопрос, принадлежит ли эта система многочленов представлениям Fx или F2, рассмотрим действие на нее операции С4 (поворота на угол я/2 вокруг оси Z), которая приводит к замене х на у, у на — х, z на z. Характер равен 1, поэтому эти многочлены принадлежат /^-уровню. При
1 = 2 мы начнем с многочлена
rVS(e) = /f (!*’—}).
В результате перестановок получим многочлены
J (3*2—1) и i(3y2—1).
Оба эти многочлена можно представить в виде линейных комбинаций
2 2 2 2 многочленов rP2COs2(p И Г Ро'.
Зл;2 — 1 = 3 sin20cos2ф — 1 = у sin2 0 -f- sin2 0 cos 2ф — 1 =
= у sin2 0 cos 2ф — ^ cos20 — j.
Точно так же, если начать с
r2P\cos(f, или zx,
то в результате перестановок получаются многочлены ху и yz, которые пропорциональны соответственно
