Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
6 13 1 1 1 1 1 2Ах -)- А2 -)- Bj -)- В2 -)- 2Е\ -\-2Е2 — Ах -(- reg 9
Далее рассмотрим тетрагональную систему (систему V в § 9 гл. 2). Голоэдрическая группа
Ai h = D* X G[.
Рассмотрим группу D4 (наши результаты будут также применимы и к изоморфным ей группам G4v и В результате мы получим
табл. 38. Группы
Gih = G4XGt и G4 абелевы, поэтому каждый уровень расщепится на простые уровни.
Таблица 38
Характеры классов тетрагональной группы DA в (21+ 1)-мерном представлении группы вращений 1 Е с\ С4 С2 С2, Разложение представлення на неприводимые представления тетрагональной группы Число уров- ней
0 11111 1
13—1 1 —I —1 А2 + Е 2
2 5 1—1 1 1 а{ + в, + в2 + е 4
3 7—1—1 —1 —1 A2 + Bt + B2 + 2E 5
4 9 1111 2А\ -)- А2 -)- В] -)- В2 -)- 2Е = Aj -)- reg 7 ГТЯ
402
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Наконец, в случае ромбической системы (системы III в § 9 гл. 2) рассмотрим абелеву группу V\ каждый уровень полностью расщепляется на 2/ —(— 1 простых уровней.
Теперь читатель уже должен суметь самостоятельно рассмотреть те или иные интересующие его группы с помощью изложенного нами метода.
Задача. Постройте таблицу, которая показывала бы, каким образом уровни полной группы зеркальных поворотов расщепляются в поле кристалла с симметрией группы D3d.
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов с различной симметрией
В гл. 6 мы уже рассмотрели задачу о нахождении собственных волновых функций в нулевом порядке теории возмущений. Та же задача возникает и теперь, и если в разложение представления D(1) ни одно представление не входит с кратностью, большей единицы, полное решение этой задачи можно получить, исходя из соображений симметрии. Если же одно и то же неприводимое представление кристаллографической группы входит т. раз в разложение представления D^l\ то для нахождения собственных волновых функций нулевого порядка мы должны решить секулярное уравнение порядка т. Рассмотрим на примерах метод нахождения собственных функций в нулевом порядке теории возмущений для электрона в полях внутри кристаллов с различной симметрией. (Часть этой работы в точности повторяет то, что мы делали при классификации компонент дипольного и квадрупольного моментов по представлениям кристаллографических групп.)
Выберем волновые функции свободных атомов в вещественном виде
/2Р'т(0)С8°>Ф.
Тогда все отражения сводятся просто к умножению такой функции на ± 1. Поворот на угол я вокруг оси X меняет ф на —<р, а угол 0 — на угол я — 0. Из определения функции Р1т (0) мы видим, что эта операция приводит к умножению Р1т на (—\)1~т
p'm(n-0) = (-l)'-mPL(0). (9-50)
Эта операция оставляет cos /геф без изменения, a sin /геф умножает на (—\)т. Во всяком случае, поворот на угол я вокруг оси X не приводит к возникновению связей между различными ВОЛНОВЫМИ функциями,
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов
403
Рассмотрим сначала тетрагональные группы на примере группы Д,. Все элементы этой группы можно получить из поворота С4 вокруг оси 4-го порядка Z и поворота С2 вокруг оси 2-го порядка X. Как мы видели выше, С2 не связывает различные волновые функции.
Поворот С4 не меняет угол 0, но заменяет функцию функ-
цией ^°*/ге(ф + я/2). Таким образом, при четном т. это преобразование
может привести самое большее к перемене знака. Если же т нечетно, то это преобразование переводит функции cos mq> и sin /геф друг в друга.
Функция Ро инвариантна относительно поворота С4, поворот же С2 умножает ее на (—1)*. Поэтому Ро принадлежит представлению А1 (см. табл. 19) при четном I и представлению Л2 при нечетном I. Тот же результат остается в силе и для
Y 2 Р\у. cos 4|Ыф 0х=1, 2,...),
так как
cos 4ц ^ф -f- —j = cos 4цф.
Функция
Р\х зіп4цф
также не изменяется при преобразовании С4; преобразование С2 умножает ее на (—1/+1. Поэтому эта функция принадлежит представлению Л2 при четных I и представлению А1 при нечетных I. Продолжая эти рассуждения, мы получаем табл. 39, в которой указано,
Таблица 39
Собственные функции неприводимых представлений тетрагональной группы
Представления
нечетные / четные 1
Л2 Ах
¦а, А,
Вг В2
В2 Bi
Е Е
Собственные функции
р0, V2 Pl4li cos 4цф V2 Pl4jl sin 4цф
Я4ц+2СОІ! (4ц + 2)Ф
Уї pt+2sln№ + 2)f
404
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
каким образом волновые функции распределяются по различным представлениям тетрагональной группы. Воспользуемся таблицей и выпишем в явном виде собственные функции для нескольких первых значений I:
1 = 0. А г. Р°о 1=1. Л2: РІ
Т р\
sin
* V2P\?nV
1 = 2. At: Р2о 1 = 3. А2: Ро
В2: Y2P\cos2y В\\ У2 P2Cos2<p
Ві: /2" РІ sin 2ф В2: У2Р\$т2ц
* р
Е- (9.51)
/^Ф
/ = 4. Л,: Ро, /2 Р$соз4ф А2: /2 РЬіп4ф
В2: У 2 Р2 cos 2ф В і: /2 Ргзіп2ф
Е: V2 Р\cos ф, V2 Р\ c°s Зф.
r sin т r sin т
При І < 3 каждое неприводимое представление встречается в разложении только один раз, следовательно, собственные волновые функции в нулевом порядке теории возмущений для этого случая
мы уже получили. При I = 3 представление D(3) содержит пред-
ставление Е дважды. Таким образом, собственные функции в нулевом порядке теории возмущений для представлений Л2, Вх и В2 — это те функции, которые приведены в (9.51), но для представления Е нам придется решать секулярное уравнение. Заметим, что только совф и cos Зф (віпф и віпЗф) оказываются связанными друг с другом, поскольку они принадлежат одной строке представления. Решение секулярного уравнения предоставляется читателю в качестве задачи.
