Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
sin2 0 sin 2ф(=/>2 Sin 2ф) и sin 0 COS 0 sin ф (= р\ sin ф).
Применив операцию С4, получим
С4(ху) = — ху, C4(xz) = yz, C4(yz) = — xz,
откуда следует, что характер С4 равен —1 и рассматриваемые функции принадлежат /ууровню,
Таблица 41
Уровень Представ- ление Собственнее функции крі сталла
Dy E <2y)i = Р2о (2y)2 = Ґ2 Pq cos 2ф
Ds F* (2e)j = V'i P\ sin 2ф (2e)2 = V2 P\ cos ф (2e)3 = У2 P\ sin ф
Fb A2 (3P) = V~2 P\ sin 2ф
Fb F, (36), = Pi (36)2 = /2 (-|/ j P\ cos Зф -1/| P\ со8ф) (Зб)з = /2 Я3 sin Зф + P\ sin ф)
Fe f2 (3e)j = Y~2 p\ cos 2ф (3e)2 = /2(1/ І ЯЗ cos Зф + -|/-| Я? cos ф j (Зе)3 = /2(|/ 4 Я3 sin Зф — "|/Г4я?5іпф)
Ga A, (4<X) = ]/-^ Яо+]/ ТІ Я4 COS 4ф
Gy E (4у)і = К2 P\ cos 2ф (4y)2=|/4 P0-Vif P4C0s4<P
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов
409
Продолжение
Уровень Предста- вление Собственные функции кристалла
Об F (46)j = V2 Р\ sin 4ф (4б)2 = |/ -j Р\ cos ф — j Р\ cos Зф (4S)3=)/sіпф + j/Р\ sin Зф
Ge F (4е), = V2 Р\ sin 2ф (4е)2 = j/'-1 Р\ cos ф + j/'^ Р\ cos Зф (4е)з = j/'\ Р\ sin Ф — j/'\ рз sin Зф
Мы составили таблицу функций в нулевом порядке при 1 = 4 (табл. 41). Обозначения уровней в кристалле и собственных функций заимствованы у Бете.
В случае кубической симметрии вновь проявляется влияние структуры кристалла на плотность заряда. Так, D-электрон атома в кристалле кубической симметрии будет находиться либо в Е-состоянии, либо в /^-состоянии в зависимости от того, какое из этих состояний имеет меньшую энергию. Если таким состоянием окажется Е-состояние, то угловое распределение плотности заряда будет иметь вид
(Ро)2 + 2 (Рг)2 cos2 2ф ^ ^cos20 — -i-^2 —|—sin4 0 соз22ф.
Эта плотность заряда достигает своего максимального значения на осях 4-го порядка. Вдэль осей 3-го порядка (cos 0=1 /. ф=я/4) она будет обращаться в нуль. С другой стороны, если электрон находится в /^-состоянии, его плотность заряда должна быть дополнением к плотности заряда для ^-состояния (поскольку их сумма должна быть сферически симметричной), поэтому плотность заряда в /^-состоянии будет равна нулю вдоль координатных осей и достигать максимального значения вдоль осей 3-го порядка.
Задачи. 1. Найдите волновые функции в нулевом порядке при / = 3 для кристаллов кубической симметрии.
2. Опишите плотность заряда для состояний кристалла кубической сим* метрии, возникающих из /^состояния свободного атома.
410
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
§ 6. Двузначные представления группы вращений. Двумерная унитарная унимодулярная группа
Как мы показали, представления группы вращений образуют полную систему, если потребовать, чтобы наши матрицы были однозначными функциями параметров группы. Но мы знаем, что существуют системы функций, у которых трансформационные свойства при вращении отличаются ог свойств сферических функций, образующих базисы представлений D(l\ Наши представления были получены при рассмотрении функций от пространственных координат х, у, z. Нам часто приходится иметь дело с физическими системами, которые обладают дополнительными внутренними степенями свободы (спином). При вращении в пространстве изменяются не только пространственные, но и внутренние координаты такой физической системы. Если мы совершим поворот на угол 6ф вокруг оси Z, любая функция ф, зависящая от пространственных координат и внутренних переменных, изменится на бесконечно малую величину 6ф (пропорционально 6ф). Таким образом,
6ф = іУгф6ф, (9.53)
где Jz—эрмитов инфинитезимальный оператор поворота вокруг оси Z. Точно так же мы введем инфинитезимальные операторы Jx и Jy, соответствующие вращениям вокруг других координатных осей. Соотношения коммутации для операторов Jv задаются формулами (8.101). Как доказывается в учебниках квантовой механики, из этих соотношений коммутации следует, что собственные значения операторов Jv образуют систему чисел, изменяющихся от —j до -)- j с шагом 1, и что j должно быть либо целым, либо полуцелым. Представления, которые мы до сих пор рассматривали, соответствуют целым j (момент количества движения равен целому числу). Теперь мы хотим рассмотреть другой случай, когда число базисных функций неприводимого представления четно. Начнем с простейшего случая j = -^,
поскольку, как мы видели при рассмотрении связанных систем, все остальные случаи можно получить, составляя произведения представлений.
Рассмотрим какое-нибудь представление, пользуясь двумя комплексными переменными и, V. При пространственных вращениях переменные и н v переходят в линейные комбинации
u'^=au-\-bv, v' = cu-\~dv. (9.54)
Коэффициенты преобразования зависят от того конкретного вращения, которое рассматривается. С физической точки зрения мы хотим,
§ 6. Двузначные представления группы вращений
411
чтобы плотность вероятности |к|2-|-|г/|2 была инвариантна, вследствие чего для нас представляют интерес только унитарные преобразования. Кроме того, заметим, что если взять две пары функций и1( vx и и2, v2, каждая из которых преобразуется по (9.54), то в результате такого преобразования функция uxv2—и2vx будет просто умножаться на (ad—be). Таким образом, функция uxv2—u2vx образует базис одномерного представления группы вращений, которое должно совпадать с полученным нами ранее представлением D(0). Поскольку базисная функция представления D^ инвариантна относительно пространственных вращений, мы видим, что следует наложить требование ad — bc= 1. После этого мы получим группу двумерных унитарных унимодулярных преобразований—группу Яіг- [Другое обозначение этой группы S(J (2).] Для таких преобразований
