Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 129

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 180 >> Следующая

/Е\ Ус*\
Е R С2 C2R
'1 0' О т 0 і 0'
0 1 > 1 т о і ’ і 0 1 > О *¦«. і
и находим ее представления. Всякое представление, в котором элемент R имеет тот же характер, что и элемент Е, будет однозначным представлением группы С2. Если же характер элемента R равен характеру элемента Е, взятому со знаком минус, то мы имеем дело
§ 7. Расщепление атомных уровней
421
с двузначным представлением группы G2. Чтобы получить все представления группы G2, нам необходимо найти представления группы G2 унитарных матриц, которые указаны в (9.79). Этот метод нахождения представлений точечной группы правилен, но обладает тем недостатком, что мы теряем интуитивное представленке об элементах группы как q геометрических операциях. Поэтому мы пытаемся формально рассматривать группу, состоящую из четырех операций (9.79), как совокупность геометрических преобразований. Из (9.79) мы видим, что C2 = R\ последовательные повороты на угол л вокруг заданной оси не приводят к тождественному преобразованию. К обычной группе вращений мы формально добавляем элемент R, соответствующий повороту на угол 2л вокруг оси, и образуем все возможные произведения элемента R с элементами группы вращений. При этом мы получаем то, что называется двойной группой, соответствующей первоначальной группе вращений.
В качестве другого примера рассмотрим группу D2. Эта группа абелева, она содержит четыре элемента Сл, Су, Cz, Е, принадлежащих четырем ^лассам. Чтобы найти все представления группы D2 (целые и полуцелые), мы должны перейти к той подгруппе группы С\Х2, которая соответствует D2¦ Эту подгруппу d\ можно найти из (9.61) и (9.63):
F С С С
iS \ Ї z\ У\ iS х\
ргЬ йт [Sm шЛ
Заметим, что группа D2 неабелева:
'—і O' 'і O'
~CZR, CyCx =
0 і 0 — /
Кроме того,
Cl=C-y=Cl = R,
поэтому последовательные повороты на угол 2л вокруг любой оси приводят к элементу R, который мы будем рассматривать как поворот на угол 2л. Из (9.80) также можно видеть, что R2=E. Таким образом, двойную группу D2 можно считать группой вращений, в которой мы возвращаемся к тождественному преобразованию лишь после поворота на '4л. Теперь мы получим все представления дрой-ных групп, соответствующие различным точечным группам.
Чтобы найти все представления групп Gn, мы перейдем к двойным группам Gn, содержащим 2п элементов
Сп, СІ, ..., Cnn = R, CnR, ClR, ..., c:R = C2nn = E.
422
Г лава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Двойные группы С'п являются циклическими абелевыми группами,, порожденными элементом Сп с периодом, теперь уже равным 2п. Так как Сп абелева группа, она имеет 2л одномерных представлений. Базисными функциями различных представлений группы Gn служат функции
1, е'Ф/2, е'Ф, е3»?/2, ("-і/2)ф_ (9.81)
Применяя С„ к любой из базисных функций, получаем
C”elm(t = е-2яіш/леітф_ (9.82)
При целом m
C“elm ф = eCmtf,
так что мы приходим к однозначным представлениям, перечисленным в таблицах гл. 4, При полуцелом m имеем
Сп Imty гтср
п€ — Є ,
что приводит к двузначным представлениям группы Gn.
В случае группы Gi базисные функции 1 и егч> задают однозначные представления. Для функций е'^2 и е~'Ф/2 находим С2е~1 ф/2 = е±(('/2)(ф-я) — ^ іе±іф/2 Двузначные (комплексно сопряженные) представления имеют вид
е2 Е R С 2 ^2^
Е' ( 1 1 —1 / — І
1 —1 — І І
(9.8S)
Штрих означает двузначное представление. Отметим одно общее свойство: в однозначном представлении любой элемент 5 и элемент SR имеют одинаковые характеры, в любом же двузначном представлении характеры этих элементов имеют противоположные знаки. Таким образом, характеры двузначных представлений автоматически оказываются ортогональными характерам однозначных представлений. Точно так же можно рассмотреть группы Оз, Ga и Об-
Задача. Найдите двузначные представления группы G%.
При рассмотрении однозначных представлений точечных групп мы обращали внимание на двусторонность осей. Если имелась ось 2-го порядка (вращение U2), перпендикулярная оси я-го порядка, то элементы Ckn и Сп~к принадлежали одному и тому же классу, потому что
(JiCknU^ = и2скпи2 = спп-к.
§ 7. Расщепление атомных уровней
423
Тот же результат мы получали и тогда, когда плоскость отражения проходила через ось я-го порядка. (Этот случай сводится к предыдущему, так как av = lU2 и avCkna^1 = lU2CknlU2 = Cnn~k, поскольку операция / коммутирует со всеми элементами группы.) В двойных группах элементом, обратным элементу U2, оказывается не U2, a U2R, вследствие чего элементом, эквивалентным Сл, является элемент
U2CknU2R = Cnn-kR.
В группах Dn ось Z двусторонняя, поэтому элементы С* и Спп~к принадлежат одному и тому же классу. Если же мы рассмотрим двойную группу D'„, то элементы С* и C%~kR окажутся в одном классе, а элементы Спп~к и CknR — в другом. Итак, вообще говоря, двойная группа имеет вдвое больше элементов, принадлежащих вдвое большему числу классов. Число классов не удваивается в одном частном случае: если ti четно, то С^/2 (поворот на угол л) образует в группе Dn класс, состоящий только из этого элемента, и, следовательно, порождает в двойной группе D'„ единственный класс CnJ2> CnJ2R. Наличие оси 2-го порядка при четном п приводит к тому, что число классов в двойной группе оказывается меньше удвоенного числа классов в первоначальной группе.
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed