Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
-еш/2 о
О с -
418
Г лава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
и в любом представлении имеет тот же характер, что и эта матрица. Из (9.74) имеем
Х(Л (е/а/2, 0)= ^ е!та = s?,n (J+ V2) а_ > (9 75)
m=-j
где а изменяется от 0 до 2я.
Представления D(-1\a, b) образуют полную систему неприводимых представлений группы TJ,2. Характер любого другого представления (после умножения на функцию плотности группы) должен быть ортогонален всем характерам (9.75). Взяв разности, найдем
х(0) (g/a/2> у(чг) _ 2 cos , х(1)—x(0)=2cosa,
Х(3/г) — Х(1/а) = 2 cos и т. д.
Эти функции образуют на отрезке от 0 до 2я полную систему, поэтому никаких других независимых представлений быть не может.
Представления D(J\a, b) унитарной группы дают нам представления группы вращений. Пользуясь (9.65) и (9.70), получаем
0$т( а, р, Y) = 0(iL (cos |e('-/2)(a+V), Sin | e( I ft) (V-a)j =
*= 2 (—x
[U+m)\(j — m)\(J + m')! (j — m') !]‘/г A (j m — [і)! [і! (/ — m' — ц)! (m/ — /я -f- Ц)! A . , . / 6 \2/ + m-m'-2ii ( ft \m' —
Хеіт’аеітч fcOS Sin . (9.76)
Если требуется, мы можем исключить из формулы (9.71) и (9.76) множитель (—1)т ~т, перейдя с помощью трансформации матрицей 6m'm(—l)m к эквивалентным представлениям.
Характеры элементов группы вращений можно получить из частного их вида (9.75), где а=ф, р = у —0:
Х('>(Ф)= 2 *<тф= -n(s/n^|)tP'- (9J7)
т=*= — j
При целом / эти характеры совпадают с характерами представлений 0(г), полученными ранее, так что представления при целом j совпадают с представлениями D(,). При полуцелом j каждому вращению сопоставляются две матрицы представления +D(;)(a, р, у).
§ 6. Двузначные представления группы вращений
419
Важно иметь в виду, что представления всегда являются однозначными представлениями унитарной группы. Двузначные представления группы вращений для полуцелых j возникают вследствие того, что каждому вращению соответствуют две унитарные матрицы представления, отличающиеся только знаком. Двузначность представления обусловлена существом дела. Если R и 5 — два вращения, то мы можем записать лишь
±D(i){RS) (j= 1 3
DU\R)DU,(S)
~2 и т-
Д.
(9.78)
и не можем выбрать знак единственным образом. В качестве примера рассмотрим группу, состоящую из тождественного преобразования Е и поворота С2 на угол я вокруг оси Z. Тождественному преобразованию Е соответствуют две унитарные матрицы
'1 0 1 0'
0 1 и 0 — 1
в то время как, согласно (9.61), повороту С2 соответствуют матрицы
'і 0' і 0'
и
0 — і 0 і
Если матрицы представлений выбрать в виде D(E) =
“1 0' I 0'
0 1 , D(C2) = 0
ТО
но
D (Е) D (С2) =
D (С2) D (С2) =
і О О — /
-1 О О —1
:D(EC2) = D(C2),
= — D(cf) = — D(E). (9.78а)
Знак „ + “ в (9.78) существен, и произвольным выбором исключить эту неопределенность нельзя.
Переходя к группе зеркальных поворотов, мы включаем в группу вращений инверсию /. В случае унитарной группы соответствующий процесс можно осуществить лишь при условии, что мы будем рассматривать ее как абстрактную группу и присоединять к ней элемент і такой, что г2 равен единичному элементу унитарной группы, причем I коммутирует со всеми элементами унитарной группы. В любом представлении унитарной группы матрица, соответствующая элементу і, должна быть равна единичной матрице, взятой со знаком плюс или минус. То же справедливо и для /. Заметим, что соответствие /->/ является единственным случаем, когда элементу группы
420
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
зеркальных поворотов сопоставлен единственный элемент (расширенной) унитарной группы. При целом j мы г.олумим те же результаты, что и раньше. Враш.ению R соответствует матрица представления D(;)(/?); если элементу /(/) соответствует матрица (1), то матрица D^Ji(Rf) совпадает с матрицей представления DU\R)\ если же эпементу z (/) соответствует матрица (—1), то матрица D(}\R[) совпадает с матрицей —(R) (в соответствии с проведенным нами рассмотрением положительных и отрицательных представлений). Однако при полуцелом j представлением элемента R будет служить пара матриц ± D^J)(R), п результате чего при любом выборе матрицы, соответствующей элементу /, мы получим
DiJ)(Rl)= ± DiJ](R).
§ 7, Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов.
Двузначные представления кристаллографических точечных групп
Теперь мы должны рассмотреть ту же задачу о возмущении, которую мы изучали в случае целых представлений. Как расщепляется уровень какого-нибудь атома, когда симметрия понижается до симметрии одной из кристаллографических точечных групп? Мы не можем применять в этом случае те методы, какие мы применяли раньше, ибо соотношения ортогональности применимы только к однозначным представлениям. Прежде всего мы должны найти двузначные представления кристаллографических групи так же, как мы нашли двузначные представления полной группы вращений.
Метод, который обычно излагается для нахождения двузначных представлений кристаллографических групп, носит весьма искусственный характер. Попытаемся показать, что он правдоподобен. Когда мы хотим найти двузначные представления группы С2 [см. (9.78)], мы рассматриваем группу С?2, состоящую из четырех унитарных матриц, т. е.
