Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
а) D' Е R с* CXR су CyR Сг czR
Е' 2 —2 0 0 О
б)
D's Е R с3 C\R С2 C,R С,(3) CXR (3)
1 —1 —1 1 і — і
1 —1 —1 1 — і і
р' 2 2 —2 1 —1 0 0
В)
Е R С3 с4я С2 (2) С2Д(2) С2. (2) CyR (2) С2 с2/?
2 —2 2 —2 0 0 0
4 2 —2 —2 2 0 0 0
г) Яб Е Я с6 ^ Ф Ф с5 с6 с6я с2я с|/г С2 (3) С2Я (3) С2' (3) C2,R (3)
Е'х 2 —2 /3 1 -/3 —1 0 0 0
р' 2 2 —2 — /3 1 /з —1 0 0 0
р' с3 2 —2 0 —2 0 2 0 0 0
Ґ Е R С3(4) C3R (4) СІ (4) С2Я(4) С2 (3) С2Я (3)
Е' 2 —2 1 —1 —1 1 0
2 —2 є — е — е2 е2 0
с 1 2 —2 е2 — е2 — е е 0
428
Г лава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
П родолжение
е) С3(4) С23(4) С4( 3) С®(3) С\( 3) С2(6)
О' Е R C\R (4) C3tf(4) С®/?(3) С4Я (3) C\R (3) С2Я (6)
с\
Е'
2
С'
2—2 1 —1 1^2 —/2 О О
2—2 1 — 1 —/2~ /2 О О
4—4—1 10 О О О
по крайней мере одно из этих представлений должно иметь вещественные характеры. Если элемент С3 в двумерном представлении должен иметь вещественный характер, то мы должны выбрать собственные значения еіл>3 и е~1я/3 так, что /(С3)=1. (Если бы мы выбрали два раза по —1, то сумма квадратов характеров была бы больше порядка группы.) С з приводится к диагональному виду одновременно с С3. Поэтому
х(Сз) =
2ІЯ/3
I -2ІЯ/3__________
—|- Є
1
И характеры равны 2; —2; 1; —1; —1; 1; 0. Простейший способ получения остальных двух представлений состоит в том, чтобы образовать произведения только что найденного представления и одномерных представлений, характеры которых равны соответственно 1; 1; є; є; є2; є2; 1 и 1; 1; є2; є2; є; є; 1. В результате мы получим совокупность характеров 2; —2; є; —є; —є2; є2; 0 и 2; —2; є2;
— є2; —є; є; 0.
Задача. Пользуясь соотношением (3.173), найдите характеры двузначных представлений группы Т'.
Сз(4) Сз(4) С4(3) С43(3) С42( 3)
R C\R (4) СА (4) C\R (3) CaR (3) C\R (3)
Двойная ґруппа O' имеет 48 элементов, принадлежащих 8 классам:
С2( 6)
CiR (6)
Группа О имеет 24 элемента, принадлежащих 5 классам, поэтому существует три двузначных представления, и
tt\-\- п\-\- п\ = 24.
Два из Этих представлений двумерные, третье — четырехмерное. Поскольку существует лишь одно четырехмерное представление, его Характеры должны быть вещественными. В любом представлении
Х7 = Х8 =°. Хб = ~ Х5 и Х4=—Хз-
§ 7. Расщепление атомных уровней
429
Сумма квадратов характеров неприводимого нредсгавления должна быть равна порядку группы, в силу чего
42 +(-4)2+ 16х2+12х2 = 48,
ИЛИ
4x23-h Зх?=4'
Если матрица С4 приведена к диагональному виду, то 4 диагональных элемента следует выбирать среди собственных значений
е± InjA и ?±3ія/1
Единственный способ получить вещественный характер, не нарушая последнего выписанного нами соотношения, состоит в том, чтобы взять в качестве диагональных элементов все четыре собственных значения. В этом случае х(С4) = Х5 —О, следовательно, Хз=1. Хз = ± 1. Но С3 имеет собственные значения
— 1,
поэтому следует так выбрать из них четыре элемента матрицы С3, чтобы ее след был вещественным. Если мы возьмем пару е±1л13 дважды, ТО Хз будет иметь слишком большую величину и не будет удовлетворять условию Хз= — Мы Должны выбрать числа —1,
— 1, е±1л/3, что даст Хз= — !• Итак, мы получаем систему характеров: 4; —4; —1; 1; 0; 0; 0; 0. Чтобы найти двумерные представления, воспользуемся теоремой, согласно которой их характеры должны быть ортогональны характеру только что полученного четырех-мерного представления. Поскольку в этих представлениях
Х(?) = 2, х(Я) = -2,
имеем соотношение
4. 2+(-4) (-2)-16хз=0.
откуда
Хз= !•
Далее, приравняем сумму квадратов характеров порядку группы, т. е. 4 + 4 + 16+12х2 = 48,
откуда
Х5 = + уТ.
Для удобства двузначные представления точечных групп даны в табл. 42.
Теперь мы можем решить задачу о расщеплении уровней в поле Н внутри кристалла для случая, когда рассматриваемый уровень при-
430
Г лава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
надлежит двузначному представлению группы вращений. Прежде всего ясно, что в разложении будут присутствовать только двузначные представления кристаллографической группы, поскольку одно- и двузначные представления всегда имеют ортогональные характеры. Для нахождения характеров элементов двойной группы в полуцелых представлениях D(;) мы воспользуемся формулой (9.77). Дяя тетраго-
нальной двойной Угол
группы D' из (9.77) получим
ср = 0: Ф
л:
Xi — 2у" —f— 1, х2 — -%5 = Хе = ь = о;
У2 при 1 2 (mod 4),
Я . sin (у + ]/г) л/2 ф 2 ’ Хз sin л/4 0 при у- 3 2 ’ ¦j(mod4),
-уТ при 5 2 (mod 4),
І4 — — Хз- (9.86)
Поскольку единственными независимыми характерами являются и у_3, нам необходимо при разложении записывать только их. Результаты, полученные с помощью (9.86) и табл. 42 в, представлены в табл. 43.
Таблица 43
Характеры классов группы D^ в (2/-f 1)-мерном представлении группы вращений Разложение представления ?)0) на неприводимые представления группы D^ Число уровней
j Кх Кг
¦І 2 /2 Е* 1
4 4 ° ?', + 4 2
| 6 _/2 Е[ + 2Е'2 3
1 8 0 2Е[ + 2Е2 4
4Я —|- у' 8Л + 2У'+1 То же, что 2Х (?( + Е2) -|- Члены
для У для у 1 2
Для гексагональной группы D$ характеры классов в полуцелых представлениях D(;) равны соответственно:
