Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся на группе D2, которую мы уже рассматривали раньше. В этом случае все оси двусторонние, поэтому двойная группа D2 имеет восемь элементов, принадлежащих 5 классам:
Е\ R; Сх, CXR\ Су, CyR; С2, CZR.
Существует пять неприводимых представлений группы D2, и
5
2 п\ = 8.
/=1
Из этих представлений мы уже нашли однозначные, в которых элементам Е и R ставится в соответствие одна и та же матрица. Таких представлений было четыре, причем все они были одномерными. Таким образом, остается одно новое двузначное представление, размерность которого равна 2:
22+12+12Н-12Н-12=8.
Его матрицы указаны в (9.80). Характеры приводятся в таблице:
D'2 сх Е R CXR Су CyR с2 CZR
Е' 2—2 0 0 0
424
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Отметим еще одно общее свойство двузначных представлений. Так как
D (.SR) = — D (S),
то
X (SR) = — % (S).
Поэтому если элементы S и SR принадлежат одному и тому же классу, характер %(S) должен быть равен нулю. Это будет выполняться для любого поворота на угол я вокруг двусторонней оси. Базисными функциями двумерного представления Е' являются функции 屑ԫ.
Группа D3 имеет 6 элементов, принадлежащих 3 классам. Двойная группа D3 имеет 12 элементов, которые принадлежат 6 классам:
Е\ R-, С3> СІЛ; Cl СзЛ; Сх(3); CXR (3).
Поскольку эта группа не содержит поворотов на угол л вокруг двусторонней оси Z, мы удваиваем и число элементов и число классов и получаем три новых (двузначных) представления размерности 1, 1,2. В одномерном представлении
х(Сз) = Ьс(С3)]2.
но, поскольку элементы С\ и C3R принадлежат одному и тому же классу,
X (сз) = — X (Q,
откуда
Х(С3) = -1.
Точно так же, поскольку
СІ = R и х (Я) = — 1.
мы получаем
X (Сх) = ± І,
что дает нам два комплексно сопряженных одномерных представле* ния. Так как у нас имеется лишь одно двумерное представление, его характеры должны быть вещественными. Например, для элемента Сх матрица представления имеет собственные значения +/, кратность каждого из них равна 1, откуда следует, что %(СХ) = 0. Так как С\ = R, то собственные значения С3 равны —1, е±гл/3. В вещественное представление должна входить пара собственных значений е±(Л/3, из чего следует, что
X (С3) = егл/3-)- e~ilt/3= 1.
§ 7. Расщепление атомных уровней
425
Характеры двузначных представлений группы D3 даны в таблице:
D3 Е R С3 C\R С2 из C3R сх( 3) CXR (3)
, ( 1 —1 —1 1 і — і
*4 1 —1 —1 1 — і і
р' с2 2 -2 1 —1 0 0
(9.85)
Другой метод состоит в использовании соотношения (3.173). Если классы группы D3 мы перенумеруем в том же порядке, в каком это сделано в габл. (9.85), го
<ж\=(сз+С>Т=cl+cIr2+2ClR =
3 ГЗ ' изп/ ^з ' 3 4 I ^ 3
= С3 -)- C3R -)- 2E= 4 —j— 2p
откуда
C334 = 1 и сззі = 2.
Пользуясь соотношением (3.173), находим
4х2з = хі(2х4+2х,)-
Так как
Х4 = — Хз и Хі = я.
получаем
4х2 = п{ — 2х3 —{— 2л).
При га=1 выполняются равенства
4Хз+2х3=2 и х3 = —1 или Хз^^г-
Поскольку значение 1/2 исключается (в одномерном представлении характер / должен быть корнем из единицы), то оба одномерных представления имеют
Хз“ - 1-
При п = 2 получаем равенства
К2 ,
Кз I 'Лз
4Хз-Их3 = 8,
так что
Хз = 1 или хз = —2.
Значение —2 исключается, поскольку сумма квадратов характеров была бы в этом случае больше порядка группы. Таким образом, мы снова получаем те же результаты, пользуясь методом, отличным от предложенного ранее. Применим теперь этот метод к группам Da и D§-
426
Г лава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
с, с43 с24 с2( 2)
R c34r c4r c\r C2R( 2)
Двойная группа D4 имеет 16 элементов, принадлежащих 7 классам:
С2< (2)
CVR (2)
Группа Д, имеет 8 элементов, принадлежащих 5 классам. Мы получаем два двумерных двузначных представления. Так как все оси двусторонние, имеем
Х5 = Хб = Х7 = °-
Кроме того,
Jft = (С4 + C\Rf = q + C6/?2 + 2 C\R =
откуда
^335
= 1.
‘-ЗЗІ
= 2.
R св cl сі С4ь cl C2( 3)
ClR ClR C6R ClR ClR C2 R (3)
Так как у>5 = 0, при п = 2 мы получаем
Хз = 2. %Л=±У2.
что дает нам два представления.
Аналогично в случае группы D§ мы имеем 24 элемента, принадлежащих 9 классам:
Су (3)
Сг R (3)
Группа же D6 имеет 12 элементов, принадлежащих 6 классам. Поскольку в этом случае имеются три двузначных представления и п\-\~ п\-\-п\ = 12, они все имеют п = 2 В этом случае снова
h = Is = І9 = °-
еТ4=оТьЧ-2оТг При п = 2 Х4 = Х6Ч-2. Но Х6= — Х4> откуда Х4+Х4 = 2 и х4= 1 или х4= — 2.
е/Г3з/Г4 = g/T7 Ч-еТз- Поскольку х7 = 0- мы получаем Х3Х4 = Х3 при л = 2, откуда х4=1> если только Хз Ф 0.
sT1 = gT4 4-2^1- В этом случае х^ = Х4+2; Х3=± при Х4= І! Х4 = —2 при Хз = 0.
Таким образом, мы получим три представления, которые приведены в табл. 42.
Двойная группа Т' имеет 24 элемента, принадлежащих 7 классам:
Е | R | С3 (4) | C3R (4) I Cl (4) | C\R (4) | С2 (3), С2Л (3).
В то же время группа Т имеет 12 элементов, принадлежащих 4 классам, вследствие чего мы получаем три новых двузначных представления. Так как комплексные представления появляются парами, то
Таблица 42
Таблица характеров двузначных представлений кристаллографических
точечных групп
