Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Расщепление атомных уровней
431
Угол Ф = 0: Ф = л:
Xi = 2/+1.
Х7 = и = Хэ
Чл = = 0;
Хз
_ sin (j-\~ у2) л/3 sinn/6
/3
0
(mod 6),
при 7=2-’ -g-(mod 6),
V3 при /==-і, |- (mod 6);
2л
Ф=-д-.
Х4
_ sin (у + Уг) 2л/3 ______________
sin л/3
1 при jl
1
(9.87)
(mod 3),
1 при У=-д- (mod 3),
%5= — Хз.' Хп;
О при j\ = -Xv
(mod 3);
В разложение мы должны включать только Хь Хз и Х4- Воспользовавшись снова таблицей характеров для группы ?)6 (табл. 42г), мы получим результаты, перечисленные в табл. 44.
Для кубической двойной группы О' характеры имеют следующие значения:
Угол
Ф = 0: Xi = 2У+1. Х2 = —Xi!
ф = л: X? = Х8 = о;
Ф =
2л
Хз =
sin и+Чг) 2л/3 sin л/3
sinQ'+Vz) л/2 sinn/4
1 при /~у (mod 3),
— 1 при 3 j~j (mod 3),
0 при /=-77 (mod 3);
/2 при / = 4 (mod 4),
3 7 ,
0 при / = -2 • -2 (mod
/2 при /231-(mod 4);
(9.88)
Х4 — ~ Хз> Хб — Х5'
Результаты соответствующих разложений приведены в табл. 45.
Таблица 44
Характеры классов группы D в (2 j \ 1)-мсрном представлении группы вращений Разложение представления D(J) на неприводимые Число уровней
J к, к, к,
і 2 2 /3 1 F1 с\ 1
3 2 4 п -1 Е[ + 4 2
5 2 6 0 0 е[ + е!2 + е'3 3
7 7 8 -Vs 1 е[ + 2е:2+е:3 4
9 2 10 -VW —1 Е[ + 2Е2 + 2Е3 5
11 2 12 0 0 2Е[ + 2Е'2 + 2Е'3 6
61 +Г 2у + 1 То же, что для / 21 (?, + Е2 -j- ?3) + + Члены для у' j + Y
Таблица 45
Характеры классов группы О' в (2/+ 1)-мерном представлении группы вращений Разложение представления Dd) на неприводимые представления Число уровней
J к, к2 к, группы О'
1 2 2 1 V2 е' 1
3 2 4 —1 0 о' 1
5 2 6 0 - -Ґ2 e'2 + G’ 2
7 2 8 1 0 + G 3
9 2 10 —1 /2 E{ + 2G' 3
11 2 12 0 0 E{ + E'2 + 2G' 4
6 + / т + у Е[ + Е2 -j- 2G' + Члены для /, в которых Е[ и Е2 переставлены местами 21 (е{ + Е2 + 2 G') + Члены для j' 4-|- Число уровней для j' 8Я + Число уровней для ]'
§ 8. Связанные системы. Сложение моментов количества движения 433
Задача. Выпишите разложения двузначных представлений группы вращений для кристаллов, обладающих симметрией групп D3 и Т.
§ 8. Связанные системы.
Сложение моментов количества движения.
Коэффициенты Клебша — Гордана
Когда физик рассматривает задачу о связи двух подсистем, гамильтонианы которых инвариантны относительно группы вращений, он складывает „моменты количества движения" этих подсистем, чтобы получить момент количества движения всей системы. Мы намереваемся прежде всего показать связь между этим методом, использующим алгебру Ли, и нашим методом, использующим группу Ли.
Так же как и в § 4 гл. 6, рассмотрим две подсистемы, обозначенные цифрами 1 и 2; у каждой из них в отдельности гамильтониан инвариантен относительно группы вращений. Каждому вращению Rx первой системы сопоставлен некоторый оператор О#, в гильбертовом пространстве системы 1, и аналогично каждому вращению S2 второй системы сопоставлен некоторый оператор 0$2 в гильбертовом пространстве системы 2. Для операторов Од, получим соответствующие им инфинитезимальные операторы J, (JXx, Jly, У1г), действующие на векторы в гильбертовом пространстве системы 1. Точно так же для системы 2 найдем инфинитезимальные операторы J2 (-/2лг, Лг)' Каждый набор операторов удовлетворяет правилам коммутации
№пх' ^п'Л == І-Jnz’ пу< Ли! = ^пх' №пг< Лгд-1 z==lJny (9.89)
Кроме того, поскольку операторы ^ и J2 действуют на функции различных переменных,
[Ji. J2] = 0. (9.90)
Если мы рассмотрим одновременно две не связанные между собой системы, то их гамильтониан будет инвариантным при любом комбинированном вращении RlS2, где R и S —вращения различных систем. Гильбертово пространство представления будет произведением пространств подсистем (т. е. будет состоять из произведений функций для подсистем). Операторы О/^О^, действующие в этом пространстве, будут давать неприводимое представление такого прямого произведения. Положив 5 равным тождественному преобразованию, мы сможем получить инфинитезимальные операторы а положив R равным тождественному преобразованию, найдем J^. Игак, для пр^-
434
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
мого произведения имеем шесть независимых инфинитезимальных операторов J,, J2. Если системы связаны друг с другом (к гамильтониану добавлены члены, зависящие от расстояния между системами 1 и 2), то полный гамильтониан не будет более инвариантным при раздельных вращениях систем 1 и 2. Группа симметрии понизится и вместо прямого произведения RxS2 будет равна произведению RxR2 (системы 1 и 2 поворачиваются на один и тот же угол). Вместо операторов 0R[0s2 мы должны теперь рассматривать подгруппу операторов OxPfo. Для этой подгруппы прямого произведения существуют только три инфинитезимальных оператора
J = Ji + J2- (9.91)
Операторы J, и J2 удовлетворяют соотношениям (9.89) и (9.90), и поэтому операторы J должны удовлетворять соотношениям (9.89). Если гильбертовы пространства 1 и 2 соответствуют неприводимым представлениям, то наша задача сводится к тому, чтобы найти, какие неприводимые представления J содержатся в произведении этих пространств.
Аналогично, если мы связываем г систем, то тем самым совершаем переход ОТ прямого произведения 0Rl0s. • • ¦ От к 0/^,0^ . . . ... Одг и от 3г инфинитезимальных операторов J,, J2, ..., Jr
