Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
к
При t = ta (37.13) переходит, как очевидно, в б-функцию;
G0 (хг xa, tj = -i 2-^eik(*-*") = - *6 (х - xa). (37.14)
k
При t <ta мы положим no определению
<?о = 0. "ч (37.15)
Используя результат (37.11), получаем
? ЙМФ (0) = ? j (x, t) Q0 (x, t) Ф0С0 (x, t- xa, 0) d*x. (37.16)
§ 37] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ В КООРДИНАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 27 1
Это выражение можно интерпретировать следующим образом. В начальный
момент времени электрон вылетает из точки х" и попадает в точку х к
моменту времени t, где происходит взаимодействие (рис. 52).
Полученные выше результаты мы используем, чтобы в рамках первого порядка
теории возмущений более точно задать функцию состояния. Согласно
предыдущему
эта функция имеет вид (формула (30.7)) -"¦=-----------
t ха>$а
ф (7) = ф (0) + f-i- Явз (т) d% Ф (0). Рис- 52- Функция
w ' ' J Л w ' ' Грина G0(x, t; хя,
0 ta) описывает рас-
(37.17) прост,ранение свободного электро-
Это выражение с учетом только что получен- на из точки хя, ta ного
результата (37.16) и функции начально- в точку х, t. го состояния (37.6)
принимает вид
Ф(7) = (ха, 0) Ф0 -(-
t
+ j* dxd3xQ0(x, т)^ (x, т) ФД,(*, т; ха, 0). (37.18)
о
Мы только что видели, что распространение электрона можно очень наглядно
представить с помощью функции Go, поэтому представляется естественным
выразить всю правую часть (37.18) через G0, что может быть достигнуто
умножением обеих частей (37.18) на
<^(*е, *в)Ф0|. (37.19)
Тогда сразу получаем
<Ф0 j Фо (хе. te) I Ф (*)> = "?о (хе, te; ха, 0) +
t
+ г JJc0(xe, te- х, т)у Q0(x, t)G0(x, т; х", 0)d3xd%. (37.20)
о
Правая часть этого уравнения интерпретируется очень просто. Первое
слагаемое в правой части (37.20) описывает невозмущенное распространение
свободного электрона из хд, f" = 0 в хе, te. Второй член представляет
распространение электрона из хд, ta = 0 в х, т. В этой точке происходит
взаимодействие с колебаниями решетки. Затем частица распространяется из
точки х, т в точку хе, U (рис. 53).
На первый взгляд кажется совсем не просто узнать, какая информация
заключена во всем этом результате.,• Информацию,
272
ФУНКЦИИ ГУИНА
[ГЛ. VI
Рис. 53. Диаграмма, соответствующая уравнению что колебания (37.20) :
рассеяние электрона на потенциале ~ Q0(х, т) (----------).
содержащуюся в функции G0, которую называют функцией Грина, мы подробно
рассмотрим в следующем параграфе. Здесь стоит лишь упомянуть, что мы,
естественно, сразу же вернемся к привычному по предыдущим параграфам
представлению (разложению по функциям ajt<P0)> если совершить фурье-
преобразование уравнения (37.20) по координате хе и умножить его нае-г8кЧ
Тем самым видно, что из (37.20) можно "вытянуть" всю ту информацию,
которую мы получили ранее в теории возмущений.
Мы еще раз поясним применение этого нового способа описания на примере
второго порядка теории возмущений, приняв теперь, решетки также
квантованы. Для того чтобы сразу же воспользоваться только что
полученными результатами, общее основное состояние системы "электрон +
колебания решетки" целесообразно разложить на произведение отдельных
состояний
Фо = Фо,элФо,р- (37.21)
Далее, в качестве начального состояния мы выберем состояние, в котором
имеется электрон в точке х" и совсем нет квантов колебаний решетки. Эту
начальную функцию (см. (37.6)) можно, учитывая (37.21), разложить в
произведение
Ф (0) = (itf (ха, 0) Ф0>эл) Ф0,р, (37.22)
так что относится только к Фо,эл- Подействуем теперь на функцию (37.22)
(во втором порядке теории возмущений) оператором
/ t t
'о о
I ' II
(37.23)
Умножим результат по аналогии с (37.20) слева на функцию
ФГДМ = Gift (хе,Л)Фо,элФо.р)+ (37.24)
и образуем среднее значение. Обсудим получившиеся члены по
отдельности:
I <Фо(ге)1Ф(0)> Mi iG(xe, te; Ха, 0), (37.25)
I 2
I(Т2)j
H-qq (тх) dx-^ d^2
0
III
§ 37] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ В КООРДИНАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 273
Как видно из (37.8), оператор #",(1) содержит выражение (?о(х, f),
которое теперь является оператором.
Используя (29.32) и (29.33), разложим Qo следующим образом:
<?о(М) = <#(х, *) + <?Лх> *)• (37.27)
где использованы сокращенные обозначения
<?о+ К *) = 2 i ]/^У (tm)iWxe-ia"%, (37.28)
<?о (х, 0 = 2 (" 0 |/2^V (37.29)
То, что операторам уничтожения поставлен в соответствие оператор Q+, не
является опечаткой, а связано с определением, применяемым в
квантовополевой теории, согласно которому через Q+ должен обозначаться
оператор, содержащий положительные частоты. А поскольку во всех волновых
функциях квантовой ме-
-Le t ~ш
ханики энергия присутствует в виде е п =е , то и (37.28)
действительно связано с положительной частотой.
Поскольку стоящие в (37.26) функции состояния представляют вакуумное
состояние решетки и, кроме того, Q0 зависит от bw, b$ только линейно, то
(37.26) исчезает:
II - (37.26) = 0. (37.30)
Таким образом, интересный для нас член в (37.23) - это III. G помощью
(37.8) перепишем этот член в виде
t
' Т CY \фо (У И dr2<Px2Q0 (х2, т2) ... X ' о
Та
X ... J J dTjtPx^ (х15 тх) ... Ф (0)^>, (37.31)
