Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
(39.2)
+ 1
Чтобы получить уравнение движения для функции Грина, нам следует,
естественно, вынести производную по времени d/dt и поставить ее перед
средним значением. Однако здесь таится некая сложность, о которую можно
легко споткнуться. Чтобы не стать жертвой этой сложности, мы запишем G(x,
t; xr, t') в таком виде, что хронологический оператор Г окажется
выраженным с помощью "обычной" числовой функции. Для этого воспользуемся
ступенчатой функцией @(t - t'), которая, как известно, определяется
следующим образом:
Тогда Г-произведение можно сформулировать следующим образом:
Гф(х, ?)ф+(х', *') = ф(х, t) ф+(х', t')@(l - t') =F
=Fij)+(x/J ?')rj)(x, t)0(.t' - t). (39.4)
При этом знак минус относится к ферми-операторам % а знак плюс следует
использовать для бозе-операторов.
Как показывает сравнение с определением оператора Г (см. (38.6, 7)),
выражения (39.4) и (38.6, 7) действительно совпадают. Чтобы от (39.4)
перейти к правилу вычисления производной по времени функции G, построим с
обеих сторон (39.4) среднее значение относительно функции Ф, умножим на
(- i) и продифференцируем по времени t:
при t > t', при t < t'.
(39.3)
/ф ф+ (х', *>) ф\ в (г -1) +
+ <ф|ф(х, t) ф+(х', ^) |ф>.±е ("-и
д=<Ф|ф+(х/, Щ Ф(х, t) I Ф)-^- (r) (*' - *)}• (39.5)
282
ФУНКЦИИ ГРИНА
[ГЛ. VI
Используя Г-оператор, запишем два первых члена в (39.5) в виде
Для преобразования обоих последних выражений в (39.5) мы воспользуемся
известным из математики фактом, что производная ступенчатой функции дает
6-функщтю:
(39.7)
После сложения два последних слагаемых в (39.5) принимают следующий вид:
- г<Ф|{ф(х, НфНх', t') ± ф+(х', Д)ф(х, t)} 1Ф>б(S - tl. (39.8)
Выражение в фигурных скобках в (39.8), однако, представляет собой
антикоммутатор (фермн-частицы) пли коммутатор (бозе-частицы) между ф и
г|И. Поскольку за ним стоит функция S (? - ?'), мы можем оба времени tut'
положить ранными. Тогда фигурная скобка превращается, согласно обычным
перестановочным соотношениям (13.8) и (12.15), в обычную S-функцию S(x -
х'). Поскольку оставшееся среднее значение <Ф|Ф> нз-за нормировки Ф равпо
единице, то (39.8) принимает простой вид
Если сложить два первых члена (39.5), которые даются выражением (39.6), с
двумя последними членами (39.5), которые даются выражением (39.9), то
окончательно получим
Возвратимся теперь к нашему исходному уравнению ^ (39.2). Умножив обе его
стороны на (- i) и подставив в левуй часть
(39.10), получим окончательное уравнение
(39.6)
iS(x-x')SH - П.
(39.9)
ф+(х', *') ф\ - ifi(x -x')fi(f - *').
(39.10)
it-^G (х, t\ х', t') = М (t' - t) б (x' - x) -
§ 391
ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
283
Здесь сразу введено сокращенное обозначение
G (х4, ?4; х2, х3, t3; х4, ?4) =
= <Ф | Т(х4, ii)^(x2, t2)$(x3, t3) г[)+(х4, ?4)Ф>. (39.12)
Поскольку мы применили в (39.11) хронологический оператор, а в уравнении
(39.11), однако, должны пользоваться равными временами f] = = t,
то, чтобы обеспечить правильный порядок
следования операторов т|?+, ф, в аргументе мы написали t - 0. В уравнении
(39.11) кроется глубокое разочарование для теоретика, который полагает
решить эту задачу с помощью функции Грина. Первоначально мы хотели ввести
уравнение для функции Грина Сг(х, t; х', С). Однако это удалось нам лишь
частично, поскольку мы вынужденным образом пришли к введению еще более
сложной функции Грина (39.12). Для нее вновь следует ввести уравнение,
что в принципе возможно сделать. Но это новое уравнение будет содержать
функцию Грина, в которой появятся шесть операторов. Эту процедуру можно
продолжить, в результате чего получится последовательность уравнений,
решение которой определенно не проще, нежели решение исходной задачи.
Поэтому следует обратиться к приближениям. Прежде чем обсудить этот путь,
мы рассмотрим точно решаемый пример ]).
Свободные частицы без кулоновского взаимодействия. В этом случае
последний член в (39.11) выпадает, так что уравнение принимает следующий
вид:
дв(Х,дг; Х'' п = -?* AXG (X, t- X', t') - i8(t - С) б (X - х').
(39.13)
Поскольку неоднородный член этого уравнения зависит только от разности
координат ~ 6U - t')8(х -х'), мы полагаем
G = G{x - х', t-t'). (39.14)
Для решения представим G в виде интеграла Фурье:
G (х - х', t - t') = _J_ j J G (k, e) етх'х,)-щ*-п(13к de.
(39.15)
Аналогично разложим функцию 8(f - ?')6(x - x') в интеграл Фурье:
6 (t - t') б (x - x') = j J eik(x-x')-iE(f- t')d3k dS' (39.16)
') Читатель, не достаточно глубоко знающий математику (преобразование
Фурье, теорему о вычетах), этот пример может спокойно опустить и читать
дальше, начиная со стр. 285.
284 ФУНКЦИИ ГРИНА [ГЛ. VI
Оба выражения подставим в (39.13). Учтем, что имеют место равенства
^ е~ш = - (39.17)
Axeikx =-k2eikx. (39.18)
Перенесем все члены в (39.13) в одну сторону, после чего получим
да? 11 (S (к. <0 (- + 1ST *') +
+ i-^)d3kde - 0 (39.19)
(2я) J
Поскольку экспоненциальные функции между собой линейно независимы, то
левая часть (39.19) может равняться нулю только тогда, когда обращается в
