Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 97

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 118 >> Следующая

нуль выражение в фигурных скобках. Это приводит к результату
G (к, е) = ---, (39.20)
v ' (2я) 8 - ек v '
где введено сокращенное обозначение
(39.21)
Подставляя (39.20) в (39.15), получаем
= ----- Ж*. ' (39.22)
Этот интеграл, очевидно, следует вычислять с помощью теоремы о вычетах.
При этом возникает типичная для функций Грина трудность: подынтегральное
выражение имеет полюс в точке в - бк, т. е. сингулярность на контуре
интегрирования. Чтобы избавиться от этой трудности, добавим в знаменателе
бесконечно малую мнимую величину ± ty, у > 0, в результате чего
знаменатель примет вид 1/(е - е*+гу). По причинам, которые сейчас станут
понятными, мы выберем знак плюс перед ?у. Итак, рассмотрим интеграл + 00
de (т = *_*'). (39.23)
-j-oo
I
8 - 8k + iy - 00
Для того чтобы можно было воспользоваться теоремой о вычетах,
ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА
285
контур интегрирования следует замкнуть на бесконечности, причем интеграл
вдоль этой части контура не должен давать вклада.
1. При т = t - t' > 0 замыкаем контур в нижней полуплоскости, тогда Im
е < 0, т. е. действительная часть показателя экспоненты в (39.23) Re {-
?ет) < 0 (рис. 57). Полюс в точке e=en -щ находится внутри контура
интегрирования. Теорема о вычетах дает
$
-iSr
de
е - ek + iy
= - 2nie~isWT = _ 2jue"i8kT,
y->-0. (39.24)
2. При т = t - t'< 0 контур интегрирования следует замкнуть в верхней
полуплоскости. Тогда внутри контура нет никакого полюса, так что теорема
о вычетах дает $•••=0. Тем самым мы удовлетворили условию
G(x, t\ х', t') - 0 при t<t'
(см. 38.2)). (39.25)
Из процедуры интегрирования (выбор знака гу) видно, что уравнение (39.13)
не включает условие (39.25), так что его следует явно ввести. Применяя
(39.24) и (39.25), получаем
Контур при t~t> О
Рис. 57. К применению теоремы о вычетах.
G (х
О
(2 я)
о,
И
gik(x-*')-iek"-t')d3A.) t у V t < V.
(39.2G)
Сравним теперь результат (39.26) с (38.1) и (38.2). Совершенно очевидно
полное совпадение (если только учесть, что в § 38 использовался ряд
Фурье, а здесь, напротив, интеграл. Это по существу вопрос объема
нормировки, и он не связан ни с физикой, ни с формализмом). Несмотря на
это совпадение, в нашей задаче заключена еще одна ловушка (см. задание
1).
Вернемся, однако, назад к нашему общему уравнению (39.11) с кулоновским
взаимодействием.
Приближение Хартри. Для того чтобы мы могли решить уравнение (39.11), в
теории функций Грина следует сделать типичное приближение, которое
полностью эквивалентно первоначальному приближению Хартри (или несколько
более общему приближению Хартри - Фока). Мы разложим функцию Грина,
которая зависит от четырех операторов, на произведение более простых
286 ФУНКЦИИ ГРИНА [ГЛ. VI
функций Грипа, т. е. представим ее в виде (приближение Хартри)
?7 (хц t]\ х2, ?2; х3, ?3; х4, ?,j) - ±?7(x2, ?2, Xj, ?Д ?7(x3, ?3, x4,
?4),
(39.27)
или, в краткой записи,
| ?7(1, 2; 3, 4) = ± ?7(2, 1) ?7(3, 4). (39.28)
Верхний знак относится к фермп-операторам ф+, ф, а нижний - 1C бозе-
операторам. Подставим приближение (39.28) в уравнение
(39.11). Теперь учтем еще, что
?7*(х, ? - 0; х, ?) = ± ?<Ф|гр+(х, ?)ф(х, ?)|Ф> = ±гр(х, ?) (39.29)
(р(х, ?) - плотность числа частиц), после чего получим
•ъ 0G (х, г; х', г')
Ш - _
- {-?д-+л* |7??т)е<х'*'¦ *'>+
+ М (?-?') б (X -х'). (39.30)
Стоящий в правой части уравнения (39.30) в фигурных скобках оператор
имеет вид:
кинетическая энергия + потенциальная энергия заряда е в
поле зарядовой плотности ер(х, ?).
В качестве метода решения напрашивается решение с помощью итераций (как в
методе Хартри): задаем р(х, ?), затем вычисляем с помощью уравнения
(39.30) G, получаем отсюда согласно уравнению (39.29) новую плотность и
т. д.
Приближение Хартри - Фока. В этом случае используется следующее
приближение:
| ?7(1, 2; 3, 4) = ±?7(2, 1)?7(3, 4)-?7(3, 1)?7(2, 4). (39.31)
Мы предоставляем читателю самому по аналогии с методом Хартри сделать
подстановку приближения (39.31) в (39.11) и обсудить получившееся
уравнение.
Пример 2. Взаимодействие частицы с колебаниями решетки. В предыдущем
примере мы рассматривали функции Грина в координатном пространстве.
Теперь введем уравнения движения для фурье-образов функций Грина. Мы
ищем, таким образом, уравнение для определенной в (38.19) функции Грина
?7ц(?). В принципе мы поступаем так же, как и в первом примере, исходя
при этом из соответствующих уравнений движения операторов в
гейзенберговском представлении. Для случая взаимодействия электрона с
колебаниями решетки уравнение движения
% 39)
ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
287
фояонпых операторов было уже введено в § 16. Аналогичным образом можно
ввести и уравнение для электронных операторов. Поскольку эти уравнения
нам сейчас потребуются, приведем их простоты ради, в явном виде
ак ^ - inkak - г 2 g*wak_"bw - i 2 S^.ak+W, (39.32)
W W
b\y g\\flk Uk+w ' (o9.33)
k
b ? ¦--- io>wb+ -f / 2 S'wOk+wOk. (39.34)
k
Уравнение (39.32) является исходным при выводе уравнения для фупкцпп
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed