Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
о
где точки обозначают пока еще отсутствующие операторы ф+, ф. При учете
(37.22) и (37.24) выражение (37.31) распадается на часть, относящуюся к
решетке, и часть, относящуюся к электронам. Рассмотрим в явном виде
существенно новую для нас решеточную часть
<Фо.р1<?о(х2, Т2)@о(хь Т1)Ф0,р>. (37.32)
Это выражение мы обозначим через
ОЫ-г, тг; xi, ti). (37.33)
Если теперь для стоящих в Qo операторов bw воспользоваться бозевскими
перестановочными соотношениями, то вычисление
18 х. Хакен
274 ФУНКЦИИ ГРИНА [ГЛ. VI
(37.32) проводится аналогично (37.12) и в результате получаем D (х2,
х15 *,) = 2 (37.34)
w w
Это выражение мы будем интерпретировать как волновую функцию, которая
описывает распростране-гсг,2?" ние фонона из точки хь п
в точку х2, т2.
Графически процесс распространения этого фонона мы представляем с по-Рис.
54. Функция Грина мощью волнистой линии (рис. 54).
Dfa, f2; хь tt) описывает Теперь нам следует вычислить ту
распространение фонона из г (tm)
точки х,, I, в точку х2, t2. часть выражения в (37.31),
которая
относится к электронам:
<Фо,эл | Фо (хе, te) (х2, Та) ф0 (Х2, Та) ф'Ь (xt, Tt) X
X Фо (хы тг) Фо+ (х", 0) Ф0,эл>- (37.35)
Так как вычисление проводится аналогично вычислениям на стр. 269-271, то
явное вычисление мы предоставляем читателю и сразу приводим результат
(37.35) = i3G0 (хе, te; х2, т2) Gq (xs, т2; xl5 tJGJx!, т2; х0, 0).
(37.36)
После этой подготовки мы в состоянии привести конечный результат.
Используя (37.36) и (37.32) = (37.33) в (37.31) й складывая затем I и
III, мы получаем
<Фо I Фо (хе' ге) I Ф(Й (0> = iGo (Хе> К', ха> 0) + t т2
-]-j* j d'x2<Р%2.Gq (хе, te\ x2, т2) С j J* dx1cPx1 X
Тг о о
X D (x2, r2, x^, Ti) G0 (x2, x2, x2, тi) С Gq (x2, t2, xa, 0).
(37.37)
Второе слагаемое в (37.37) может быть интерпретировано следующим образом:
электрон распространяется из х", ta = 0 в хь Ть Там возникает
взаимодействие с решеткой. Затем электрон и фонон летят из xi,*Ti в х2.,
т2. Наконец, имеет место еще одно взаимодействие, в результате которого
фонон уничтожается и электрон летит из х2, т2 в хе, te (рис. 55).
Поскольку функции G0 и D должны быть вычислены явно (см. задание), то
вычисление (37.37) сводится к ряду интегрирований по пространству и
времени.
¦ ..
•^ede 'bgds
Рис. 55. Диаграмма, соответствующая уравнению (37.37): вклад в
собственную энергию электрона.
§ 38]
ПРОПАГАТОР, ФУНКЦИЯ ГРИНА И ДР.
275
Приведенные выше соображения могут быть распространены, естественно, на
возмущения любого, сколь угодно высокого порядка. Для этого, очевидно,
следует выписать все соответствующие вычислениям по теории возмущений
диаграммы, каждой вершине и каждой электронной и фононной линии которых
отвечает определенное правило. С этими правилами мы только что
познакомились. Диаграммная техника образует фундамент многих современных
теорий физики твердого тела.
Задание к§ 37
Переходя к пределу V °° вычислить G0{x, f; х', 0).
§ 38. Функция распространения, пропагатор, функция
Грина - все одно и то же
Обратимся к результатам предыдущего параграфа. Мы видели там, что каждый
шаг теории возмущений можно интерпретировать совершенно наглядным
образом, если представить себе, что частицы распространяются в
пространстве между некоторыми точками. Таким образом, мы представляли
распространение свободного электрона из точки Xi в момент времени tl в
точку Хг к моменту времени t2 с помощью функции
G0 (х2, t2] Xl, у = e<k(l*~Xl)"le,c(*'_<,>, (38.1)
к
которая является результатом суммирования по к.
При этом в рамках теории возмущений автоматически учитывалось, что t2 >
ti. Для последующего будет также необходимо определить эту функцию и для
t2 < fj. Для этих моментов времени мы полагаем ее равной нулю:
Go(x2, t2; хь ?i) = 0 при t2<ti. (38.2)
Представляемая выражениями (38.1) и (38.2) функция описывает
распространение свободного электрона и обычно называется функцией
распространения или пропагатором. Как мы уже видели, выражение (38.1)
может быть также определено через операторы рождения и уничтожения: если
умножить равенство
(37.9) = (37.11) или, в наших теперешних обозначениях,
Фо(Х2" ^'Фо' (Xl> ^l) Фо = ^о(Х2' ^2> Х1' *х)Ф0 (38.3)
слева на ^Ф[!"| то в качестве определения Go мы получаем
?о(*2, t2; Xl, tl) = - i<0ollj5o(X2, ^2)фо" (xi, *i)(r)o>, t2>ti. (38.4)
18*
276
ФУНКЦИИ ГРИНА
[ГЛ, VI
Для ti > t2 по аналогии с выражением (38.2) полагаем снова, что G0(x2,
t2; xi, fi) = 0. Этот нуль мы представим, исходя из соображений, которые
тотчас будут очевидны, в несколько сложном виде, а именно, сначала
подействовав оператором уничтожения, а затем оператором рождения:
Gq (х2, ?2', xi> ^i) - 0 = <Ф0 | фо (xi> ^i) Фо (x2i ^2) Ф0> при
(38.5)
В этом месте обратим внимание на одно важное свойство функции
распространения, которое часто будет встречаться нам позже. В левой части
уравнения (38.1) xi и х2, так же как t\ и t2, стоят отдельно друг от
друга. В правой же части, напротив, координаты и время всегда появляются
