Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
соответствует восьмому члену (v = 8) в формуле (33.6). Наши рассуждения
§§ 30 и 32 позволяют довольно просто вычислить стоящие при этом члене
коэффициенты. В каждой вершине, при этом, следует проследить за
выполнением закона сохранения импульса.
Кроме того, нужно помнить, что каждому испусканию и последующему
поглощению соответствует множитель (-igw) (- igw), а по волновым векторам
w виртуально испущенных фононов следует провести суммирование.
§ 33) ТЕОРИЯ В03МУ1ЦЕНЙЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 253
Наконец нам следует вычислить кратные интегралы, указанные здесь для
случая, представленного на рис. 49:
п т' Тг
2 (-l)4kwJ2...kw,|2JdT8JdT7...JdT1e-. (33.7)
W1...W, 0 0 0
Теперь нужно еще определить стоящие под интегралом ВремеН-
iO.) Ш, Ц).
к0 к0-ш к" ке-Wj к0 к0~шг кв кц-ш, к0
Рис. 49. Диаграмма восьмого порядка (см. текст).
ные множители. Это делается с помощью следующих уже известных правил:
приходящий электрон е~гек°х,
уходящий электрон etSk°~WlX,
уходящий фонон e(tm)wL\
Таким образом, в вершине 1 появляется общий множитель eiA(33.8)
где введено сокращенное обозначение
Ai = 6k0_Wl coWl Ek0. (33.9)
В вершине 1 время т следует идентифицировать с Ti и проин-
тегрировать от 0 ДО %2'-
j'e"д,,, dXi = (33.10)
о
Вершина 2 описывает обратный процесс, которому соответствует множитель
(33.11)
Теперь нам следует перемножить (33.10) и (33.11) и проинтегрировать по
%2. Это дает следующий результат:
3 g-<Alt^T,e*A^'х-= (ззл2)
О
Осциллирующими членами здесь, как и раиее, пренебрегаем, поскольку для
достаточно больших промежутков времени они несущественны.
254 ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ 1ГЛ. V
В следующей верпгане получившийся результат следует умножить на множитель
вида (33.8) при т = тз и проинтегрировать:
Т Т (- - Л )
***-**¦?= • <33-13)
Т4
Т-*
Если умножить результат (33.13) вновь на соответствующий вершине 4
множитель и снова проинтегрировать, то мы получим
1,; <4, (33.14)
4 гД, -гД" 2 в гД, гД" ' '
О 12 12
Продолжение этой процедуры совершенно очевидно и после последнего
интегрирования приводит к результату
(33.15)
Коэффициент волновой функции, соответствующий диаграмме рис. 49 о
четырьмя виртуальными процессами испускания, согласно (33.7) и (33.15)
имеет вид
(ЗЗЛв>
Полная волновая функция Ф(0 складывается из суммы членов
--------- + + ,, гГч,* . +...+ -Оз....
п-раз
<0ф°(/+ +*•*+
Рис. 50.
различного порядка. Различные вклады можно представить суммой диаграмм
типа той, что представлена на рис. 49. Таким образом, существует взаимно
однозначное соответствие между диаграммами и волновыми функциями (рис.
50).
Каждой из этих диаграмм соответствует одна и та же волновая фуркция,
однако со своим временным множителем, как это показано на рис. 50.
Очевидно, что суммирование в предельном случае п -*¦ °° дает
| ФкД*) = a?<JV~i<Al4 (33.17;
§ 341
ТЕОРЕМА О ТОЧНОЙ ФОРМЕ РЕШЕНИЯ
255
Тем самым мы действительно пришли к утверждению, что рассмотренные здесь
процессы приводят только к смещению энергии, как это было указано в § 32.
Очень важно установить, что наряду с рассмотренными здесь диаграммами
возможны диаграммы совершенно другого типа.
а) б)
Рис. 51. Вклады четвертого порядка в собственную энергию.
Для этого следует лишь подумать о том, какие еще процессы могут
возникнуть при последовательном включении операторов взаимодействия. И
снова лучше всего это делать с помощью графического представления. При
этом появляются диаграммы типа представленных на рис. 51, которые, как
можно показать, дают коэффициенты, пропорциональные t, и, следовательно,
так же приводят к смещению энергии. Полное смещение энергии можно
получить, если просуммировать все подобные вклады, возникающие от так
называемых "связанных диаграмм".
§ 34. Теорема о точной форме решения
В §§ 30, 32 и 33 мы рассмотрели решение уравнения Шредингера для случая
взаимодействия между электронами и колебаниями решетки с помощью
нестационарной теории возмущений. В §§ 34-36 мы будем искать решения
независящего от времени уравнения Шредингера НФ = ЕФ.
Сначала в этом параграфе мы введем одну весьма общую и полезную теорему о
структуре решений этого уравнения. Для этого следует более обстоятельцо
заняться видом оператора Гамильтона. Примеры гамильтонианов встречались
нам в § 29, например в (29.24), причем периодичный с периодом решетки
потенциал был опущен. Поскольку наша теорема так же легко доказывается и
в присутствии такого потенциала в Н, то мы будем исходить из общего
оператора Гамильтона:
Я =¦ J ф+ (х) ~ А + F (х)| ф (х) d3x + 2 faow6+6w -f
W
+ J Ф+ (x) (2 (JFW (x) eiv*bw -f IF* (x) e~iwx&w)) ф (x) dsx. (34.1)
Здесь предполагается, что потенциал периодичен с периодом решетки:
FU + D-F&k . (34.2)
256 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЁТКИ [ГЛ. V
Равным образом примем, что функции, которые описывают взаимодействие
между электронами и фоионами,
Ww(x + 1) = Ww(x), (34.3)
также периодичны с периодом решетки. Если теперь положить V = О, заменить
