Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
Постоянная а играет, вообще говоря, роль константы связи, в зависимости
от величины которой следует применять то или иное приближение. Для а < 6
можно применять методы, исподы* зованные в §§ 32 и 35, для а >10 - другой
метод, предложенный Пекаром. Важный в практическом отношении промежуточ-
262 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ 1ГЛ. V
ный случай а" 10 стало возможным вычислять с помощью "интеграла по
траекториям" Фейнмана, что, к сожалению, не может быть изложено здесь.
§ 36. Эффективное взаимодействие между поляронами
В предыдущем параграфе мы исследовали движение одного электрона,
взаимодействующего с колебаниями решетки. При этом, если обратиться к
наглядной интерпретации, физика этого взаимодействия состоит в том, что
электрон поляризует вокруг себя решетку, т. е. смещает ионы.
В этом параграфе теперь следует показать, что поляризация решетки ведет
не только к изменению собственной энергии и к перенормировке массы
отдельных электронов, но и создает взаимодействие между самими
электронами. Для простоты здесь будет рассмотрен случай двух электронов
или поляронов. Однако развитые соображения могут быть легко
распространены на случай большего числа частиц. Исходным пунктом, как
всегда, является гамильтониан, который в случае двух частиц,
взаимодействующих с колебаниями решетки, имеет следующий вид:
1 Я=Яв"| + ЯВЛ1 + Яр + ЯВз1 + ЯВ81 + Я1_в. (36.1)
Первые два оператора Гамильтона относятся к свободным частицам:
Я8П. = - Aj, ] =1,2, (36.2)
j
причем следует допустить, что они могут иметь различные массы. Оператор
Гамильтона #р описывает колебания решетки:
Яр = 2йшЬ?Ь*. (36.3)
W
Следующие два оператора Гамильтона:
явз. = % S (gweiwxi bw + gle-'^bi), j = 1, 2, (36.4)
3 w
представляют взаимодействие j-й частицы с колебаниями решетки.
Выражения (36.2-36.4) уже встречались нам в предыдущих параграфах и не
нуждаются более в дальнейшем обсуждении. Ради простоты в (36.4)
предполагается, что константы связи для различных частиц 1 и 2 имеют
одинаковую величину. Отметим все же, что для зарядов противоположных
знаков знак в ЯВ31 также должен быть выбран противоположным знаку gw, gw
в Явз/ Гамильтониан #1-г описывает прямое кулоновское
§ 361
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ПОЛИГОНАМИ
263
взаимодействие между поляронами. Следует также учесть, что из-за
поляризации атомных оболочек в это взаимодействие следует ввести
диэлектрическую проницаемость е":
- -{(=т;у <36-5>
Попытаемся решить соответствующее гамильтониану (36.1) уравнение
Шредингера и воспользуемся при этом следующим наглядным представлением.
Как мы видели в предыдущем параграфе, смещение ионов решетки
математически описывается действием функции и(х, {?>^))иа состояние
неискаженной решетки ("вакуумное состояние"). Эта функция известна нам
еще из раздела о смещенном гармоническом осцилляторе. Если в решетке
имеются две частицы, то обе они будут поляризовать решетку. Тогда, во
всяком случае приближенно, мюжно ожидать, что создаваемые частицами
поляризации (возмущения решетки) просто складываются. Поэтому имеет смысл
попытаться ввести волновую функцию, которая отражает это обстоятельство.
Если исходить из поляронов с волновыми векторами kj и кг и для каждого из
них воспользоваться волновой функцией вида (35.8), то мы получим
следующее выражение для волновой функции:
/к"к, (хц х2) = -у- eik'x>eik*2jf X
X exp (S (p("<TiwX' + №e~iwx')\ Ф0. (36.6)
I ff f t
1 2
Цифры 1 и 2 указывают на парциальные вклады поляронов в искажение решетки
(см. также задание на стр. 267); явные вы-раженияР(№1) и р^ даны в
(35.12), причем следует заменить т* на m,j и к на к,. В то время как
множитель 1/F (F - объем кристалла) обеспечивает нормировку плоских волн,
решеточная функция должна быть нормирована еще множителем Jf.
Согласно (6.25) (смещенный осциллятор), Jf дается выражением
Jf = П e~T|VwP, (36.7)
W
где yw теперь имеет вид
Yw - p<wViwx* + P^Viwx*. (36.8)
Подставляя (36.8) в (36.7), получаем явное выражение для Jf".
Jf = exp f--f 2 I P^l2) exp j- -±- 2 I P(w512} • Jfc,
(36.9)
I W J I W J
264 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
где
Jfc = exp (- -i- 2 р("р?> + (1 "М. 2)1. (36.10)
В первых двух множителях (36.9) мы узнаем нормировочные множители
отдельных поляронов (35.9). Новым является зависящий от расстояния
нормировочный множитель Jfc- С помощью подробного расчета, однако, можно
показать, что этот множитель, по крайней мере при больших расстояниях
между частицами 1 и 2, можно считать постоянной величиной. Подействуем
оператором Гамильтона (36.1) на (36.6). Дифференцирование при действии
операторов Ai и Аг выполняется сразу, как и в (35.10). При действии ?>wHa
(36.6) нужно учесть, что pw из § 35 теперь следует заменить на (36.8).
Простое, полностью аналогичное предыдущему параграфу вычисление дает
Hfklt
ft2*? г,2
2 т\
-^kiyp^+e-i^'w +
+ Л- 2 + (1 -> 2) +
2mi т_________________
+ Йсо S bt + p<,Vi№) +
W
+ h%gw + eiw*') (Pw)e_iwx' + №e-iw*') +
