Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
Грина. Далее, умножим обе стороны (39.32) справа на "г(У), а слева - на
хронологический оператор Т п на (-г).
Образуем, наконец, среднее значение относительно состояния Ф, причем в
последующем в качестве Ф будем использовать вакуумное состояние. Тогда
получим уравнение
-= - ?ekGkkf - i&kk>& (t - t') -
- 2 tfw^k-w.w.k' - 2?wG№,k+w,k', (39.35)
W w
где введены следующие краткие обозначения:
Gkk, = - i <Ф | Так (t) at, (V) Ф>, (39.36)
Gk-W,w,k' = <Ф I Tak^(t) Ь1Т (t) я+ (У) Ф>, (.39.37)
Gw,k+w.k- = <Ф I Tbt (t) flk+w (t) at, (*') Ф). (39.38)
Появление функции (39.36) и есть тот результат, который мы
хотели получить. Менее отрадно, что мы оказались вынужденными вновь
ввести функции Грина нового типа, а именно (39.37) и (39.38). Теперь
можно было бы попытаться представить функции (39.37) п (39.38) в виде
произведения более простых функций Грина. Например, так:
Gk-w.w.k' = <ф I Так^. (t) я+ (У) Ф> <Ф | ьч. (t) ф>. (39.39)
Однако легко показать (см. упражнение 2), что (39.39) для вакуумного
состояния Ф0 исчезает. Тогда получился бы результат, согласно которому
частицы в конечном счете движутся как свободные, поскольку дополнительные
члены в (39.35), которые описывают связь между частицами и полем
колебаний решетки, обращаются в нуль. Этот пример, таким образом,
отчетливо демонстрирует, что при применении функций Грина можно легко
сделать ошибку и использование этих функций требует тонкого
288 ФУНКЦИИ ГРИНА [гл. VI
физического чутья. И действительно, в литературе имеются примеры, где
делаются совершенно неверные приближения и прежде всего при заменах
функций Грина их произведениями. Однако мы вовсе не хотим слишком пугать
читателя, напротив, мы хотим показать, что с некоторой долей осторожности
можно тем не менее быстро прийти к хорошему результату. Для этого введем
еще уравнения для функций Грина (39.37) и (39.38). Дифференцируя (39.37)
по времени, получаем
Jt Gk-w.w,k' = {ф Чт "k-w (0 bw (t) at, (Г) ф\ +
dt
+ <Ф | rak_w (t) bw (t) a?, (f) Ф> + <Ф | Tak^ (f) (f) ef, (*') Ф).
(39.40)
Здесь выражение dT/dt имеет, вообще говоря, символическое значение. Оно
должно лишь напоминать, что при дифференцировании следует обращать
внимание на порядок следования времен t и t'. В остальном оно
приводит к появлению одного дополнительного члена. Этот член
выведен в упражнении 3. Он имеет вид
~ak^(t)bw(t)air(t')= b(t-?)[<*-* (t)b"(t), "?,(*)]+ =
= 6(t-t/)bw(t)6k/ik_w. (39.41)
Наряду с первым членом в (39.40), который мы только что привели в явном
виде. (см. (39.41)), в (39.40) имеются еще два других члена. Для того
чтобы вычислить эти члены, подставим вместо а ж b правые части (39.32) и
(39.33). Тогда получим следующее выражение:
4 Gk-w,w,k' = I + II + III, (39.42)
где отдельные члены даются следующими выражениями:
1 = 6 (* - *') 6k,,k_w <Ф | bw (t) Ф>, (39.43.1)
11= /Ф | Г [ ?'ek_ wek~,у i 2 ?w'^k-w-w'bw'
\ I W'
i 2 ^w'bw,ak-w+w') bw (t) a?> (Г) ф\, (39.43.11) w' ft /
HI= /Ф\Таъ"ъ{*)[ - j(r)wbw~ ill ^w"k/'"k"+w] ak+, {t')4>\.
\ I k" It /
(39.43.111)
Как будет показано в упражнении 2, член (39.43.1) исчезает. Член
(39.43.11) содержит в фигурных скобках выражения разных
ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
289
типов. Первое из них можно представить в виде
(^k-w^k-w.w.k'1 (39.44)
Второе выражение в фигурных скобках содержит фононный оператор
уничтожения который после перемножения членов оказывается рядом со вторым
фононным оператором уничтожения. Это означает, следовательно, что фононы
уничтожаются дважды. Процессу уничтожения каждый раз ставится в
соответствие константа связи gw. Если ограничиться наинизшим приближением
~g%, то это выражение, следовательно, можно опустить. Выражение, которое
связано с последним слагаемым в фигурных скобках, также исчезает,
поскольку оператор Ь%, действуя справа на Фо, дает нуль (см. упражнение
2). Таким образом, все выражение (39.43.11) принимает вид (39.44).
Рассмотрим, наконец, выражение (39.43.III). Здесь также стоят фигурные
скобки. Первое выражение в них с точностью до множителя -icow вновь
приводит к функция Грина (39.37). Теперь рассмотрим второе выражение в
(39.43.111), которое состоит из суммы операторных выражений вида
flk-w (0 Як" (t) ak,'+wr(t) ар (Г). (39.45)
Используя обычные перестановочные соотношения для ферми-частиц, можно
обратить порядок следования двух первых операторов, что дает
8k\k-wak"+w (t) ар (t') - ар (t) ak_w (t) ak"+w (t) ap (?). (39.46)
Теперь представим себе, что (39.45) и (39.46) действуют на вакуумное
состояние. Рассмотрим действие второго стоящего в (39.46) выражения на
Фо. Сначала здесь рождается электрон. Затем, однако, должны быть
уничтожены два электрона, но поскольку в наличии имеется только один, то
действие соответствующего оператора на Ф0 дает нуль. Тем самым,
следовательно, выражение (39.45) оказывается тождественно равным первому
слагаемому выражения (39.46) и содержит поэтому только два электронных
оператора, которые стоят в первоначальном определении Gkк-. После этих
