Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
w t___________________________t
+ й S gl + e~iw*>) bt + Н,л /tltz. (36.11)
При этом выражение, аналогичное третьему члену в (35.10), которым мы
тогда пренебрегли, также опущено. Скобка в (36.11), обозначенная через
(1-*-2), может быть получена из предыдущих слагаемых, для чего следует
лишь всюду заменить индекс 1 на 2. Точно так же рассмотрим оставшуюся
часть (36.11) и отыщем в ней прежде всего все члены, содержащие только
индекс 1.
Эти члены в (36.11) подчеркнуты или выделены знаком f f.
Видно, что все эти члены совпадают с членами (35.10). Поскольку мы здесь
выбрали коэффициенты *) Pw. PwB том же виде, как в (35.10), то сумму всех
членов с индексом (1) можно, со-
') Мы считаем, что в нулевом приближении Pw, определены из однополяронной
проблемы. Тогда pw можно заимствовать из (35.12).
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ПОЛЯРОНАМИ
265
гласно (35.10), заменить на2?кХЛ где индекс (1) вверху указы-
вает на частицу 1. Совершенно симметричным образом члены с индексом (2)
приводят к
Самым главным для нас является член, стоящий в пятой строке (36.11),
который зависит как от индекса (1), так и от индекса (2):
сматривать только медленно движущиеся поляроны, положим в
(35.12), наконец, ki = k2 = k = 0. Тогда получаем
Этот результат имеет для нас фундаментальное значение. Он показывает, в
частности, что (даже если Нi_2 = 0) энергия двух поляронов,
взаимодействующих с колебаниями решетки, ни в коем случае не равна сумме
энергий отдельных поляронов, так как в нее дает вклад дополнительная
энергия взаимодействия W, которая зависит от расстояния между частицами.
Как будет видно из (36.16), эта энергия отрицательна, т. е. благодаря
взаимодействию с колебаниями решетки между частицами с одинаковыми
знаками зарядов появляется сила притяжения (при противоположных зарядах
эта сила станет отталкивающей). Вывод, что благодаря взаимодействию с
некоторым полем между частицами возникает прямое взаимодействие, является
фундаментальным для теории сверхпроводимости, которая будет обсуждаться в
§ 41. Из-за этого прямого взаимодействия между частицами, которое
возникает благодаря полю, частицы, естественно, не могут оставаться в
исходных состояниях ki, k2, а будут постоянно рассеиваться друг нг друге.
Поэтому, чтобы найти стационарное состояние для волновой функции, следует
сделать подстановку
W = П 2 gw (p(w1)eiw(X!'Xl) + ^VW(X1'X2)).
(36.12)
W
Заменим здесь на его явное выражение (35.12) (при k-*-kj и т*->т*).
Поскольку в последующем изложении мы будем рас-
(36.13)
Собирая вместе все стоящие в (36.11) члены, получаем
И7полн(х"~!?2)
/ (х 1> хг) - 2 ck1fci/k1ka (х1) хг)-
к,к,
(36.15)
Мы не будем вдаваться в подробности вывода уравнения для определения
коэффициентов поскольку аналогия этой ситуа-
266 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
ции с § 23 (об экситонах Ваннье) очевидна. Вместо этого обсудим
физический смысл взаимодействия Wini - хг) + #1-2 = 33 ^полн(х1 - хг)- В
качестве определенного примера мы воспользуемся константой связи gw
(35.14) для полярного кристалла. После вычисления (36.13), которое
проводится заменой суммы на интеграл, получаем (где Ixi - х21 = г)
1Г"(tm)" (г) " - (J_ _ _L) i!{! _ + е- + _?l
W Hl-2
(36.16)
_.№^Q)'\l/2
где и; = -j- . (36.17)
Вначале рассмотрим предельный случай очень большого расстояния Тогда
экспоненциальными функциями в (36.16)
можно пренебречь, в результате чего WU011ll принимает более простой вид
И^полн = Г7- (36Л8)
fcO 1
В этом случае взаимодействие между поляронами принимает в точности вид
взаимодействия двух точечных зарядов в статически поляризованной решетке
(ео = еСта(tm)ч). Обе частицы движутся столь медленно, что успевает
полностью установиться поляризация решетки. Как следует из разложения
(35.17),
Е(^ = -%(oaj + ^, (36.19)
2m.
т. е. оба электрона имеют поляронные массы т** и собственные энергии - %
coctj. Если же,напротив, устремить г->0, то главные вклады в ТКполн дают
члены
1ЕПОлн (г) = - Йсосс! - Йсоа2 + . (36.20)
6ооГ
Уравнения (36.18) и (36.19) дают правильные результаты для больших
расстояний г между частицами. При малых расстояниях поведение
взаимодействия с достаточно хорошим приближением описывается (36.16),
однако, приведенный выше метод не учитывает, что при малых расстояниях
может проявляться масса "голой" частицы. (Как уже отмечалось, при малых
расстояниях обе частицы могут двигаться столь быстро, что ионы не
успевают следовать за ними.) Однако из-за недостатка места
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ПОЛЯРОНАМИ
267
у нас нет возможности обсудить более точные методы, вроде уже
упоминавшегося в § 35 метода интегралов по траекториям Фейнмана.
Приведенные выше аргументы легко можно распространить на случай, когда
обе частицы (поляроны) имеют противоположные заряды, что действительно
имеет место для экситонов. В этом случае знак перед И^ПОлн следует
изменить на противоположный, так что в результате получается - И^полн-
Следствием этого является то обстоятельство, что при малых расстояниях г
