Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
собственно-энергетические члены в (36.19) компенсируются постоянными
членами, возникающими из-за взаимодействия (см.
(36.20), однако с противоположным знаком). При малых расстояниях между
электроном и дыркой ионы не могут следовать за ними достаточно быстро,
так что возникают лишь малые поляризационные эффекты.
Для некоторых экситонных спектров на эксперименте можно достаточно
отчетливо установить существование перехода от кулоновского
взаимодействия с е", при малых радиусах экситонов к взаимодействию с е0
при больших радиусах экситонов.
Задание к § 36
С помощью волновой функции (36.6) вычислить ожидаемое значение
поляризации Р(х) (29.23).
Глава VI. ФУНКЦИИ ГРИНА
§ 37. Теория возмущений в координатном пространстве.
Возникновение функции Грина
В теории возмущений, которая была развита в §§ 30, 32 и 33, мы опирались
на такое представление, в котором состояния электронов и квантов звука
описываются с помощью волновых векторов к и w. Соответственно этому мы
пользовались операторами рождения и уничтожения вида
йк ) йк,
В этом параграфе будет показано, что теорию возмущений можно сделать
существенно более наглядной, если представлять себе электроны и кванты
звука определенным образом локализованными. Для этого напомним читателю
(см. § 13), что рождение электрона в точке х можно представить с помощью
действия оператора ф+(х) на вакуумное состояние Фо. Поэтому в последующем
изложении для вычисления по возмущениям в качестве начального состояния
будем пользоваться функцией
Кажется разумным попробовать развить теорию возмущений только с помощью
операторов
ф+(х), ф(х).
Как мы сейчас увидим, "в принципе" это возможно, однако нам все же
следует сделать ф+(х), ф(х) операторами, зависящими от времени; в
предыдущих параграфах теория возмущений была сформулирована с помощью
представления взаимодействия
При переходе4 от шредингеровского представления к представлению
взаимодействия все операторы, а следовательно и ф+(х), должны быть
преобразованы с помощью невозмущенного оператора Гамильтона Но (см. §
16):
Ф(0) = ф+(х)Ф0.
(37.1)
(§ 16).
(37.2)
откуда и появляется зависящий от времени оператор фо (х, *)•
§ 371 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КООРДИНАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 269
Индекс 0 у оператора (х, t) указывает на то, что i|)+(x) преобразован с
помощью оператора Но-
Если разложить гр+(х) по плоским волнам, то для (37.2) получим
4>в К *) = ate (37.3)
(F- объем нормировки). Стоящее в этом разложении преобразование
операторов at уже было вычислено в § 16:
4-я.*- i-я.* е й)? е = й\^в к ,
так что окончательно получается следующий результат:
Фо+(*, t) = Ъ^=е**а?е<*. (37.4)
Эрмитово сопряженный (37.4) оператор имеет вид
^0 (X, 0 = 2^ e_ikX^e"i8kt- (37-5)
k V V
Поскольку в начальный момент времени t = 0 оператор (х, t) переходит в
оператор ф+(х), мы представим начальное состояние
(37.1) в виде
| Ф(0) = <(ха, 0)Ф0, (37.6)
где х заменено на х"*), чтобы подчеркнуть, что х" являются начальными
координатами частиц.
Функция (37.6) в последующем изложении при исследовании взаимодействия
между полем электронов и полем колебаний решетки будет служить нам в
теории возмущений в качестве начального состояния. Для того чтобы не
перегружать с самого начала наше рассмотрение, будем рассматривать
колебания решетки как классическое поле. Тогда гамильтониан
взаимодействия принимает вид (см. (29.32))
Явз =с j ^ 2 ape~ik "x+iek"t Л- 2 ак,ел'*-^ Q0 (х, t) d*x.
(37.7)
С Помощью определений (37.4) и (37.5) суммы по к" и к' в
(37.7) можно выразить, как указано, через i|^ и фо- Оператор
*) Индексы "а" а "е", встречающиеся в этом параграфе, происходят от
немецких слов "Anfang" - "начало" и "Ende" - "конец" соответственно.
(Прим. перев.) Ч' i
2?о Функции грина [гл. vt
взаимодействия, таким образом, можно представить в более простом виде
ЯВ8 = С j (х, t) ф0 (х, t) Q0 (х, t) d3x, (37.8)
где под Qо следует понимать некоторую числовую функцию. Если теперь
перейти к теории возмущений, то оператором взаимодействия (37.8) следует
подействовать на начальное состояние (37.6). Если получившееся выражение
прочитать справа налево, то первым будет стоять выражение
Фо(х> *)Фо~(х<" 0)Ф". (37.9)
Ниже эго выражение будет вычислено в общем случае, когда оператор (ха, 0)
заменен на ф^(ха, ta). Если учесть, что Фо является начальным состоянием,
а фо состоит только из операторов уничтожения <it, так что фо(х, ()Фо =
0, то (37.9) можно представить в виде
{фо (Х' 0 Фо- (Хо' К) + фо- (ха> К) Фо (х- *)} Фо- (37.10)
Как сейчас будет показано, выражение в фигурных скобках является числовой
функцией, хотя фо и фо~ являются операторами. Поэтому мы полагаем
(37.10) = iG0(x, t; xe, ta)Фо- (37.11)
Чтобы получить явное выражение для G0, подставим в (37.10) разложения
(37.4) и (37.5):
G0(x,t;xa, ta) =
= ~ *24"е1к'Х"*вк'*е-1к1а+*е,с*"(в1с'вк + "квк'Ь (37-12)
---------------
Тогда, учитывая также перестановочные соотношения для фер-ми-частиц,
получаем
G0(x, Ц х", ta) = - (37.13)
