Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
рассеивается из своего исходного состояния. Вероятность обнаружить ее в
исходном состоянии при этом уменьшается.
Как выразить теперь все это с помощью функции Грина? Предположим вновь,
что функция Грина G(x, t) разложена в ряд Фурье. Тогда фурье-коэффициенты
примут следующий вид:
Gk (t) = - jCke-iEB3,k*-vk< при t > 0> (38.16)
где Е вз,к=^еВз1к-энергия частицы с учетом взаимодействия, а 1 k -
обратное время жизни частицы.
Возможно, что экстраполяция от частицы без взаимодействия, которая
описывается выражением (38.15), к взаимодействующей частице, которая
описывается выражением (38.16), тому или иному читателю покажется
несколько смелой. Однако на примере конкретной модели мы покажем, что G
действительно имеет такую структуру.
До сих пор мы познакомились с функциями Грина двух типов, а именно,
зависящих от координат и времени и зависящих от волнового вектора к и
времени. Можно сделать еще один шаг
§ 381
ПРОПАГАТОР, ФУНКЦИЯ ГРИНА И ДР.
279
и провести преобразование Фурье по времени. Это преобразование
определяется следующим образом:
+ оо
Gt(e)= ( Лк(1)в(. (38.17)
- ОО
Мы вычислим этот фурье-образ для частного случая (38.16) и после
проведения интегрирования получим
Gk(e)=ck (38.18)
Таким образом, (38.18) является пространственным и временным фурье-
образом исходной функции Грина G(x, t). Эта функция Грина,
рассматриваемая как функция кие (причем е имеет размерность частоты),
довольно часто встречается в литературе и служит поводом к вве- Imei,
дению совершенно новой терминологии.
Рассмотрим функцию (38.18) для фиксированного к, т. е. для определенного
вектора распространения, по для переменного е! Поскольку знаменатель
(38.18) является комплексной величиной, то функцию Gk(e) имеет смысл
рассматривать па комплексной е-нло-скоетп. Как функция аргумента е,
(38.18) имеет па комплексной плоскости один полюс. Действительная
координата этого полюса равна ек, а мнимая - обратному времени жпапи-ч
(рис. об). Тогда мы приходим ГрипТс^^на
к фундаментальной интерпретации: полюс комплексной е-илос-
шш, возможно, полюсы функции Грина костя (е - энергия). Gk(e) определяют
энергию и время жизни частицы при ее взаимодействии с окружением.
Поскольку при этом взаимодействии может возникнуть совершенно новое
возбужденное состояние, которое имеет мало общего с исходным состоянием
свободной частицы, то говорят о рождении квазичастицы. На самом деле это
понятие следует трактовать еще шире. Возможны случаи (например, илазмоны;
см. § 27), при которых вовсе не требуется введения в систему
дополнительной частицы, чтобы создать возбужденное состояние, которое
выглядит так, как будто через систему движется своего рода частица.
Простейший пример - фонон, который распространяется в решетке как квант
возбуждения,- встречался нам уже в § 8.
Заметим также, что функцию Gk(?) можно определить прямо, не пользуясь
обходным путем через фурье-преобразование исходной функции Грина G(x, ?).
Мы утверждаем, что это делается
Комплексная ? - плоек инти
о Res '"к
280
ФУНКЦИИ ГРИНА
[ГЛ. VI
следующим образом:
| С" (*) = - "<Ф I (t) at (0) Ф>.
(38.19)
Доказательство проводится легко, если разложить ф+(х, t), ф(х, t) по
плоским волнам, т. е., например,
ф(х, t) = ^a^{t)y= е% *.
Подробности вычисления мы предоставляем читателю в качестве упражнения.
§ 39. Примеры уравнений для функций Грина и их решение
В этом параграфе мы приведем два примера, чтобы показать, как выглядят
уравнения для функций Грина и какие обычно делаются приближения для их
решения.
Первый пример связан с проблемой многих электронов в физике твердого
тела, а второй - с взаимодействием электрона с колебаниями решетки, т.
е., в частности, с поляроном.
Пример 1. Уравнение для функции Грина проблемы многих электронов. Наша
задача состоит в том, чтобы вывести уравнение для функции Грина, которая
определена в координатном представлении следующим образом:
(см. (38.10)). Самый простой путь -это установить связь с уравнением
движения для оператора уничтожения ф(х, t). Для оператора Гамильтона
проблемы многих электронов (см. (20.1)) мы уже ввели в § 16 уравнение
движения для оператора уничтожения (см. (А 16.15)). Чтобы в последующем
изложении не тащить за собой слишком большое число членов и, кроме того,
с самого начала учесть трансляционную инвариантность проблемы, мы
опускаем решеточный потенциал F(x) и считаем, что это оправдано введением
эффективной массы (см. § 18).
Итак, в основу рассмотрения кладется следующее уравнение движения:
G(x, t; х', t') = - 1<Ф|Г'ф(х, ?)ф+(х', ?')Ф>
X ф(х", *)ф(х, t)d3x". (39.1)
Умножим уравнение (39.1) справа на оператор ф+(х'* t'), подействуем слева
хронологическим оператором Т и образуем среднее значение относительно
состояния Ф (которое пока нет нужды
§ 39]
ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
281
уточнять более подробно). Тогда получим
Ах <ф IТгр (х't] (х''Г) ф> +
Ах<Ф)Гф(х, t) ф + (х', Г) Ф> +
+ J |х"-х| <ф I Т^+ (х"' *) ^ (х"' г) $ (х> ^ (х'' *'> Ф> d*x"-
