Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
волновую функцию в виде
f =ф=е**и(х,[Ь+])Ф0. (35.2)
Для дальнейшего очень важно найти приемлемое выражение для и (х, {б?}).
Действие этой операторной функции и на основное состояние должно
описывать деформацию' решетки, которая воз-
ПОЛЯРОН ФРВЛИХА
259
никает вокруг электрона, находящегося в точке х. В заданиях к § 8 мы
познакомились со случаем деформации решетки бесконечно тяжелым зарядом.
Нам удалось показать, что волновые функции деформированного состояния
могут быть представлены через волновые функции смещенного гармонического
осциллятора. Аналогично и в случае электрона конечной массы кажется
разумным описать деформацию решетки с помощью функции
ц(х, [^}) -=Il(>Mx)^w), (35.3)
W
где экспоненциальные функции снова представляют смещенные гармонические
осцилляторы.
Величина смещения f5w(x) будет, естественно, зависеть от х. Кроме того,
вовсе не следует ожидать, что отклонение будет непременно таким, как в
случае бесконечно тяжелой частицы. Главная задача состоит теперь в том,
чтобы определить коэффициенты pw(x). Заметим еще, что
нормировочныемножители в (35.3) задаются выражением (см. (6.25))
Л>* = е 2,4 . (35.4)
С помощью теоремы (34.16) можно сильно ограничить вид пока еще совершенно
произвольных функций f5w(x). Согласно (34.16) должно выполняться
соотношение
и (х + 61, {5+eiw61)) = и (х, (&+}), (35.5)
которое должно быть справедливым и в случае бесконечно малых смещений 61.
Если подставить сюда явный вид (35.3), то сразу получим уравнение
6+eiwe,pw (х + 51) = 6+pw (х). (35.6)
Это уравнение разрешается с помощью подстановки
pw(x) = e-lwxPw, (35.7)
где pw в правой части является независящей от х постоянной. Тем самым мы
нашли весьма специфическую форму волновой функции (подход Ли, Лоу,
Пайнса)
/ = ^елж^ехр {2M^"*wx}Oo (35.8)
с нормировочным множителем
1
2
JP = exp |----5"2|Pw|2}. , (35.9)
W
В этом решении остались еще не определенными постоянные коэффициенты pw.
Для их определения подставим решение (35.8) 17*
260 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ 1ГЛ. V
в уравнение Шредингера (35.1). При действии оператора
h2
- Д следует просто продифференцировать экспоненциальную
2т*
функцию по х. Поскольку все операторы bX между собой коммутируют, то нет
необходимости следить за точным порядком следования дифференцируемых
функций. Действие операторов Ъ% и bw оператора Гамильтона (35.1) на
функцию (35.8) уже было обстоятельно обсуждено в разделе о смещенном
гармоническом осцилляторе и не представляет никаких затруднений.
Основываясь на этих соображениях, практически без труда и длинных
вычислений получаем
Л2к2 Л2 , Vo L+ -iws 2т* т* W
W
- &. (2 Mi""" (- iw>Y+2 +
\ W / W
+ Йсо2 + % 2 ^wxpwe-iwx + % 2 gte-^bt = Е*.
W W W
(35.10)
Уравнение (35.10), совершенно аналогично случаю смещенного гармонического
осциллятора, мы "сократили" на функцию (35.8), так что в (35.10) осталось
только операторное выражение. Можно подробно показать, что для не слишком
сильной связи третьим членом в левой части (35.10) можно пренебречь.
Получившееся после этого уравнение имеет следующую структуру: в уравнении
имеются величины, не зависящие от операторов ЪХ, и наряду с ними
величины, пропорциональные bX- Для того чтобы это операторное уравнение
удовлетворялось, коэффициенты при обоих типах выражений должны обратиться
в нуль. Рассмотрим вначале множитель, стоящий перед bX• Тогда
непосредственно получаем уравнения
Pw{-
kw + 2^* w2 + I + = °' (35.11)
решая которые, получаем следующие выражения для коэффициентов pw:
{Л2ч?2/2т*^-Л2кчг/т* + Лв>} ^ ^
Теперь рассмотрим в (35.10) коэффициенты при независящих от bX членах.
Эти коэффициенты должны удовлетворять уравнению Лг , . ^
ПОЛЯРОН ФРЁЛИХА
261
Это уравнение частично содержит еще и f)w. Если выразить (iw в этом
уравнении через (35.12), то все неизвестные устраняются и мы получаем
непосредственно собственные значения энергии
2т* А{пг^12т*-Г12Ъъ'1т* + Тш}~2т* +
Сумма в (35.13) уже встречалась нам (с точностью до множите-ляй ввиду
связи АЕ = Ъ Ае) в (32.15). Она представляет собой не что иное, как
выражение для собственной энергии (при к - 0) и перенормировки массы (см.
§ 32).
Для сравнения с экспериментом необходимо иметь явные выражения для
собственной энергии и перенормированной массы. Согласно (29.27) имеет
место равенство
1/V Г
2яЙсо (¦
<35Л4)
Здесь V-объем кристалла, е - заряд электрона, е" - диэлектрическая
проницаемость в оптической области частот, ео - статическая
диэлектрическая проницаемость. Если подставить это выражение в (35.13) и
преобразовать сумму в интеграл, то (35.13) легко вычисляется, причем
результат удобнее всего выразить через безразмерную постоянную а:
<35-15)
2 \ еоо ео / !ш '
где и имеет вид
(2т*а>\1|/2 /Qr .п.
и = . (35.16)
В результате получаем следующее выражение для энергии по-лярона:
Ек
-Йсоа +g^(l+ (35.17)
откуда заключаем, что собственная энергия и перенормированная масса равны
соответственно
Ео - -айсо и та** * та*(1 + а/6). (35.18)
