Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
т на эффективную массу т* и предположить, что Ww постоянна в
пространстве, то мы вернемся, естественно,' от (34.1) к (29.24). Если же
мы имеем дело лишь с малым числом частиц, то формализм вторичного
квантования целесообразно оставить и перейти к обычному представлению с
помощью уравнения Шредингера. Этот переход, как мы видели в § 13,
осуществляется, если представить функцию состояния в виде
Ф = I • • • I f (Xl' ' ' • ' Xjv; ^0 (хх) ... X
X ... (хдг) Ф0,эл dsxL ... d3xN. (34.4)
Здесь Фо, эл - вакуумное состояние системы электронов. Аргумент (few) в /
следует понимать в том смысле, что / может зависеть от всех ЬВ следующем
параграфе мы познакомимся с соответствующим примером.
Обобщение по сравнению с § 13 состоит, таким образом, в том, что волновая
функция /, которая стоит в (34.4) как коэффициент разложения, теперь
может содержать еще операторы рождения few и, возможно, операторы
уничтожения few.
Как было показано на примере, приведенном в § 13, функция / удовлетворяет
уравнению Шредингера в "конфигурационном пространстве". Примененную там
процедуру можно сразу перенести на наш случай, после чего находим
уравнение
N 2
2 2m ^ ^ 2 ^wfeX +
3=1 W
+ SEK (xj) eiwxrtw + Wt (x
3 = 1 w
X / (xl7 {&+}) = Ej (xlT ...,xN; (few)). (34.5)
Это уравнение имеет в известной степени смешанный характер. Относительно
пространственных переменных электронов xj, ..., Xjy это обычное уравнение
Шредингера, а относительно колебаний решетки мы пользуемся, напротив,
операторами few и few- Теперь введем теорему о виде волновой функции /,
которая представляет собой существенное обобщение теоремы Блоха § 17. При
доказательстве теоремы Блоха мы исходили йз того, что оператор Гамильтона
является периодичным с периодом ре-
§ 341
ТЕОРЕМА О ТОЧНОЙ ФОРМЕ РЕШЕНИЯ
257
тетки или, другими словами, что он инвариантен относительно операции
трансляции
Til Xj-^-Xj + 1. (34.6)
Поскольку теперь учитываются и колебания решетки, то Н более не является
трансляционно инвариантным. Между тем, следует позаботиться, чтобы при
сдвиге координат электрона координаты решетки преобразовывались таким
образом, чтобы электроны "видели" те же деформации решетки. Для этого
рассмотрим в качестве примера разложение одномерных смещений решетки
(10.13), которые имеют вид
Q (х) = ^ const (eiwxbw + e-iwxb?). (34.7)
W
Если сдвинуться в решетке на вектор 1, то qix) переходит в д'(х-Ы). В
правой части это означает замену
eiw*bv~+ e<w<*+*> b w (34.8)
н
e-ixw b+ e-iM(*+Db+. (34.9)
Если bw,bi рассматривать как "переменные", то исходное отклонение qix)
можно получить вновь, если одновременно с преобразованием х -> х +1
предпринять следующее преобразование:
6w->bwe-*wl, bw->bw^iwl- (34.10)
Объединяя (34.6) и (34.10), следующим образом определим оператор
трансляции Ть
|xj* + 1.
Ti: j&w-^bwe-^i, (34.11)
Подстановкой (34.11) можно сразу же убедиться, что Н инвариантен
относительно Т i или, другими словами, что оператор Т\ коммутирует с
гамильтонианом Н:
I Г^-ЯГ^О. (34.12)
Согласно известному правилу квантовой теории, / можно всегда выбрать так,
что эта функция будет собственной функцией не только (34.5), но и Ti, т.
е.
Tif = Xf. (34.13)
По аналогии с доказательством теоремы Блоха § 17 следует считать, что
абсолютная величина % равна 1:
Х-е**. (34.14)
17 X. Хакен
258 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
В общем случае / можно представить в виде
| f = e**U(x1, {&+})Ф0, (34.15)
где U - операторная функция, действующая на основное состояние решетки
Фо, X - координата центра тяжести электронов. Если подставить (34.15) в
(34.13), учитывая при этом (34.14), то сразу получим важное соотношение
| U (х, + 1, ...,xw + l; {^eiwll) = f/(Xl, ...,xw; {&?])• (34.16)
Соотношения (34.15) и (34.16) утверждают, что электроны и в колеблющейся
решетке ведут себя как плоские модулированные волны, причем коэффициент
модуляции периодичен с периодом решетки в предположении, что искажения
решетки преобразуются соответствующим образом. Особый случай (34.15),
(34.16) имеет место для непрерывной среды, т. е., например, для оператора
Гамильтона (29.24): вместо сдвига на вектор решетки (или кратный ему
вектор) в этом случае возможен сдвиг на любой вектор, который, в
частности, может быть и бесконечно малым 61. С важным приложением (34.15)
и (34.16) мы познакомимся в § 35.
§ 35. Полярон Фрёлиха. Собственная энергия и перенормированная масса
Рассмотрим движение отдельного электрона, который движется в полярном
кристалле, положив в основу рассмотрения, как и в § 29, модель
континуума, т. е. непрерывной среды. В рамках этого приближения уравнение
Шредингера (34.5) принимает вид
2^5- Д + few 2 btbw + % 2 (?we,wx&w + ?we~,wxbw)l / = Ef. W W J
(35.1)
Ради простоты предположим, что частота ю не зависит от w, что приближенно
выполняется для так называемых оптических колебаний. Коэффициенты g
даются выражением (29.27), однако их явный вид понадобится нам только в
конце этого параграфа. Согласно #еореме (34.15-34.16) представим искомую
