Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
AEk, = AE0-C-kl
(32.24)
(32.25)
ных колебаний решетки. Коэффициент разложения при kl в
(32.26)
Если выражения (32.23-32.26) внести в (32.22) и сравнить члены,
пропорциональные &о, то получится следующий результат:
116 /оо 97\
250 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
или, если б < 1,
| т** = т*(1 + б). (32.28)
В рамках физики твердого тела результаты, относящиеся как к собственной
энергии, так и к изменению массы, могут быть легко поняты. Проходящий
через решетку электрон взаимодействует с ионами, смещает их из положений
равновесия и тем самым создает для себя более глубокий потенциал.
Следовательно, его энергия понижается, а его эффективная масса
возрастает.
Этот электрон, сопровождаемый деформациями решетки ("облаком
поляризации"), называется поляроном (более подробно см. § 35). В
противоположность релятивистской квантовой теории, где изменение массы
бесконечно большое, в данном случае оно конечно. В соответствии с
состоянием движения электрона в одном и том же кристалле могут
наблюдаться различные массы: если элект-Рис. 48. Спонтанное ис- рон
движется медленно, то возникает пускание двух фононов. рассмотренное
здесь изменение массы
или, как говорят, "перенормировка массы"; если же электрон движется очень
быстро, то ионы не успевают следовать за ним и появляется масса "голого"
электрона.
С помощью введенных выше правил мы можем рассмотреть и другие процессы,
которые ведут к действительному изменению начального состояния. Речь идет
о процессе с участием двух фо-нонов. В качестве примера на рис. 48
приведена диаграмма, представляющая спонтанное испускание двух фононов с
волновыми векторами w и w'. Вычисление коэффициентов волновой функции и
соответствующих вероятностей перехода мы предоставляем в качестве
упражнения самому читателю.
Задания к § 32
1. Определить коэффициенты cWl>Wj в разложении $(*)= 2 cWliWJ*)
6+6+Xo-wi-w/IV (А32.1)
w,,w8
если в качестве начального состояния выбрана функция
Ф(0) = <?.Ф0 (А32.2)
и в основу рассмотрения положена представленная на рис. 48 диаграмма.
Показать, что и в этом случае снова появляется
§ 33] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 251
6-функция, выражающая закон сохранения энергии для двух-фононного
испускания.
2. Электронный полярон. Сопоставить электрон в зоне проводимости с
экситоном Френкеля и найти его собственную энергию. Указание. Применить
метод эффективной массы и сделать в (25,3) следующие замены:
li->x', е4->-е'фь(х')''Мх'), 2 -*¦ j • • • dax'.
i
Затем разложить полевой оператор ^(х') электрона в зоне проводимости по
плоским волнам и воспользоваться заданием 3 из § 25.
§ 33. Теория возмущений высших порядков
В теории возмущений высших порядков мы поступаем в принципе так же, как и
в первом и втором порядках теории возмущений. Нам следовало бы искать
функцию состояния, которая удовлетворяет точному уравнению
t
Ф (*) = Ф (0) + ~ J Явз (т) dx Ф (т). (33.1)
о
Мы попытаемся найти искомую функцию состояния Ф(?), решая
t
б<"> (t) = Ф (0) + -2 JЯвз (Т") йт"(r)0*"1' (т") (33.2)
о
методом итераций, т. е. при n-м шаге в левой части этого уравнения
получаем функцию Ф(п), если в правую часть (33.1) подставлена найденная в
предыдущей ("- 1)-й итерации функция состояния Ф(п-1). При этом
условимся, что для нулевой итерации справедливо соотношение
Ф(0>(т) = Ф(0). (33.3)
Как мы уже видели в § 32, во второй итерации получается следующая
волновая функция:
t
Ф(2) (t) = Ф (0) + 2- j Явз К) dxx Ф (0) +
о
t %1
+ (ir) J^B8(Ta)dTaj,#B8(Ti)dTi(r)(0), (33.4)
о о
которую можно представить в виде суммы Фп) и поправочного члена,
содержащего произведение двух операторов взаимодейст-
252 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
впя и, следовательно, имеющего второй порядок по величине взаимодействия.
Если теперь подставить это выражение (33.4) в правую часть (33.2), то
получим волновую функцию Ф<3>. Подстановка двух первых членов (33.4) в
(33.2) вновь прямо приводит к выражению (33.4). А при подстановке
последнего члена в (33.4) в выражение (33.2) появляется еще один новый
член, так что в целом волновая функция третьего порядка принимает вид
ф(3) (t) = ф('2) +
При каждой новой итерации, как легко видеть, к волновой функции
добавляется новый член, представляющий собой просто п-кратный интеграл по
операторам взаимодействия. Отсюда следует, что функцию, полученную в п-м
порядке приближения, можно представить в виде следующего выражения:
П ^
(<) = Ф(0) + 2-^ Явз(Tv) dxv X
V=l(!(r)) J0
TV Хг
X J Явз (Tv.,) rfTv_! ... J Hm (rx) dxx Ф (0). (33.6)
о 0
Тем самым проблема отыскания Ф(п>(0 в принципе решена, если известно, как
действует оператор Явз. При практическом решении, очевидно, необходимо
последовательно действовать отдельными операторами на Ф(0) и определять
коэффициенты. Выделим из волновой функции (33.6) ту часть, которая вновь
приводит к присутствующему в этой функции начальному состоянию Ф(0) =
"?Ф". Эта часть представляется диаграммой вида рис. 49, которая
