Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
I2 ^k,k0+w0re2nS (Cko+wo - 8k" - °l,Vo). (30.43)
Здесь также отсутствует сумма, которая затем появляется, если в качестве
начального состояния выбрать некоторый волновой пакет или распределение
состояний (см. § 31).
Резюме. Подытожим кратко наши результаты. В начальный момент времени t -
0 начальное состояние имело вид
Ф (0) = а?, -Ц (6+Г Ф". (30.44)
у п\
Это состояние представляется графически в виде падающего электрона с
волновым вектором к0 и п фононами с волновыми векторами wo- Под действием
оператора возмущения //вз начальное kg-u> kg-Wg kg+шу krr
т г +.
U)
w0(n) ша(п*!) щ(пг-1) Wa(n)
Рис. 42. Наглядное представление функции состояния (30.45).
состояние переходит во все возможные коночные состояния. Конечные
состояния можно записать в виде суммы
| ф(?) = фо + ф'о + ф<-> + ф(0) (30.45)
и представить графически (рис. 42). Первое состояние с индексом s
описывает спонтанное испускание фононов с w Ф w0. Приходящие фононы не
испытывают возмущения. Однако рождается один новый фоной с волновым
вектором w. Электрон после соударения оказывается в состоянии ко - w.
Второй член описывает испускание одного нового фонона с wo- Третий член,
наконец, описывает поглощение фонона с w0. Явные выражения для отдельных
членов (30.45) даются формулами (30.32), (30.35) и (30.40).
Соответствующие коэффициенты представлены выражениями (30.17) с (30.18),
(30.36) и (30.42). Равным образом приведены соответствующие этим
процессам вероятности переходов.
§ 31. Электрическое сопротивление
Теперь мы хотим показать, как с помощью результатов последних параграфов
можно явно вычислить электрическое сопротивление полупроводника или
металла. При этом нужно привлечь
236 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
на помощь соображения, которые, собственно говоря, находятся за пределами
квантовополевой теории. Чтобы лучше понять обычный образ действий,
полезно представить себе для наглядности, что электроны являются
частицами, которые благодаря соударениям с квантами звука (точнее сказать
- поглощению и испусканию квантов звука) рассеиваются из начального
состояния с импульсом Йк в новое направление распространения с импульсом
Йк'. Так как эти соударения происходят статистически, то электроны мы
будем описывать с помощью функции распределения /к. Эта функция указывает
среднее число электронов, находящихся в состоянии к. Ради простоты
рассмотрим одно направление спина, что, вообще говоря, законно, если
переходами между различными направлениями спина пренебрегается. Поскольку
электроны подчиняются статистике Ферми, то число заполнения одного
состояния никогда не может быть больше 1, так что должно выполняться
соотношение
0</к<1. (31.1)
Если полное число электронов N, то должно иметь место условие
2/k = tf. (31.2)
к
Мы исследуем временное изменение функции распределения, связанное только
с соударениями, что пояснено с помощью рис. 43. Если рассмотреть интервал
dk в окрестности й, то число заполнения возрастает (штрихованный участок)
благодаря соударениям, которые переводят электрон из других состояний в
это состояние к. Наоборот, числа заполнения уменьшаются для всех тех
соударений, для которых электрон из начального состояния к переводится в
другие состояния. Таким образом, в совершенно общем случае изменение /
из-за соударений можно представить в виде соотношения
Рис. 43. Изменение функции расиреде ления /к со временем (только е учетом
соударений).
(Щ
\ dt /соуд
скорость "в" - скорость "ИЗ".
(31.3)
Рассмотрим теперь эти скорости более подробно. Скорость перехода из
начального состояния к' в рассматриваемое конечное состояние к
представляет собой произведение чисел заполнения
ЭЛЁКТМЧЕСКОЁ СОПРОТИВЛЕНИЕ
237
начального состояния /к' на вероятность того, что конечное состояние еще
свободно (иначе нарушалась бы ферми-статистика). Далее, результат следует
умножить на удельную скорость перехода из заполненного состояния в пустое
W^'->к- Тогда (31.3) принимает следующий явный вид:
^)соуд = 2 /*- (1 - /о ww -2м1- м ww. (31.4)
Если Hie для чисел заполнения имеет место условие
/к<1, (31.5)
то можно воспользоваться приближением
(1-/к)*1. (31.6)
Сделанные здесь предположения довольно часто выполняются в случае
полупроводников. Скорости перехода определяются соударениями с фононами
или соударениями с дефектами кристаллической решетки. В качестве примера
мы рассмотрим фононы. Полная скорость перехода складывается из скоростей
перехода поглощения и испускания фононов:
Ww = WUy + WUv, л (31.7)
закон сохранения импульса: k'=k + w, k'=k - w', I волновые векторы
фононов: w = k' - k, w' = k - k', j
причем, как указано, закон сохранения импульса должен выполняться в
каждом отдельном процессе. В предыдущем параграфе были вычислены
вероятности переходов и показано, что они имеют вид
Wt-*k+w = 2я% | gv |2 nw6 (Ек+Ч1 - Ek - fc<ow) (31-8)
и
W'Lk-w = 2яй I gw I2 (nw + 1)6 (Ek-V + - E'k). (31.9)
Как теперь видно, 6-функции более не являются опасными для решения, так
